Calcolo Esempi

$y = \ln ({(t + 1)}^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = \ln (t)$ e $g (t) = {(t + 1)}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(t + 1)}^{2}$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} \frac{d}{d t} [{(t + 1)}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ è $f' (g (t)) g' (t)$ dove $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = t + 1$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t + 1])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t + 1])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $t + 1$ .

$\frac{1}{{(t + 1)}^{2}} (2 (t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

$2$ e $\frac{1}{{(t + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \frac{d}{d t} [t + 1])$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $t + 1$ rispetto a $t$ è $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [1]))$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + \frac{d}{d t} [1]))$

Passaggio 3.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $1$ rispetto a $t$ è $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) (1 + 0))$

Passaggio 3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} ((t + 1) \cdot 1)$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica $t + 1$ per $1$ .

$\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riordina i fattori di $\frac{2}{{(t + 1)}^{2}} (t + 1)$ .

$(t + 1) \frac{2}{{(t + 1)}^{2}}$

Passaggio 4.2

Elimina il fattore comune di $t + 1$ .

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Passaggio 4.2.1

Scomponi $t + 1$ da ${(t + 1)}^{2}$ .

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune.

$(t + 1) \frac{2}{(t + 1) (t + 1)}$

Passaggio 4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{t + 1}$