Calcolo Esempi

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}} d x$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{x + 1}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = x + 1$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $u^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Passaggio 6.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C)$ come $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $u^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$ .

$F (x) =$ ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}} + C$