Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} (x + 2) {(3 x^{2} + 12 x + 1)}^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Allora $d u = (6 x + 12) d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u = (x + 2) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} + 12 x + 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x^{2} + 12 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 x + 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$6 x + 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 1.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.5.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$6 x + 12 + 0$

Passaggio 1.1.5.2

Somma $6 x + 12$ e $0$ .

$6 x + 12$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0^{2} + 12 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 12 \cdot 0 + 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $12$ per $0$ .

$u_{lower} = 0 + 0 + 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $0$ e $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Passaggio 1.3.3

Somma $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 3 x^{2} + 12 x + 1$ .

$u_{upper} = 3 \cdot 1^{2} + 12 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{upper} = 3 \cdot 1 + 12 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 \cdot 1 + 1$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $12$ per $1$ .

$u_{upper} = 3 + 12 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $3$ e $12$ .

$u_{upper} = 15 + 1$

Passaggio 1.5.3

Somma $15$ e $1$ .

$u_{upper} = 16$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 16$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} \frac{1}{6} d u$

Passaggio 2

$u^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$\int_{1}^{16} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{6} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{6} \int_{1}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{16}$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $16$ e per $1$ .

$\frac{1}{6} ((\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.5

$\frac{2}{3}$ e $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.6

Moltiplica $2$ per $64$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 5.2.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1)$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{6} (\frac{128}{3} - \frac{2}{3})$

Passaggio 5.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{128 - 2}{3}$

Passaggio 5.2.10

Sottrai $2$ da $128$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{126}{3}$

Passaggio 5.2.11

Elimina il fattore comune di $126$ e $3$ .

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Passaggio 5.2.11.1

Scomponi $3$ da $126$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3}$

Passaggio 5.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.11.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 (1)}$

Passaggio 5.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3 \cdot 42}{3 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{42}{1}$

Passaggio 5.2.11.2.4

Dividi $42$ per $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 42$

Passaggio 5.2.12

$\frac{1}{6}$ e $42$ .

$\frac{42}{6}$

Passaggio 5.2.13

Elimina il fattore comune di $42$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.13.1

Scomponi $6$ da $42$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6}$

Passaggio 5.2.13.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.13.2.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$\frac{6 \cdot 7}{6 (1)}$

Passaggio 5.2.13.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \cdot 7}{6 \cdot 1}$

Passaggio 5.2.13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{7}{1}$

Passaggio 5.2.13.2.4

Dividi $7$ per $1$ .

$7$

Passaggio 6