Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{5 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{5}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.4

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la tangente è continua.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 lim_{x \to 0} x) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.6.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (3 \cdot 0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.7.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{\sin (0) - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.1.2

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.1.3

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.1.4

Il valore esatto di $\tan (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.1.5

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.7.2

Somma $0$ e $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x) - \tan (2 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x) - \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (3 x) - \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.1.2

La derivata di $\sin (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\cos (u_{1})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\cos (3 x) \cdot 3 + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.5

Sposta $3$ alla sinistra di $\cos (3 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) + \frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \tan (2 x)]$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \tan (2 x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Passaggio 2.3.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.2.2

La derivata di $\tan (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sec^{2} (u_{2})$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - \sec^{2} (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\sec^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 1 \cdot 2 \cdot \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - 2 \sec^{2} (2 x)$

Passaggio 3

Calcola il limite.

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Passaggio 3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{5} (lim_{x \to 0} 3 \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 lim_{x \to 0} \cos (3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{1}{5} (3 \cos (lim_{x \to 0} 3 x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.4

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.5

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (2 x))$

Passaggio 3.6

Sposta l'esponente $2$ da $\sec^{2} (2 x)$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 {(lim_{x \to 0} \sec (2 x))}^{2})$

Passaggio 3.7

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché la secante è continua.

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} 2 x))$

Passaggio 3.8

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 lim_{x \to 0} x) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 4

Calcola il limite inserendo $0$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 lim_{x \to 0} x))$

Passaggio 4.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (3 \cdot 0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Moltiplica $3$ per $0$ .

$\frac{1}{5} (3 \cos (0) - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 5.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{5} (3 \cdot 1 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 5.1.3

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (2 \cdot 0))$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $2$ per $0$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \sec^{2} (0))$

Passaggio 5.1.5

Il valore esatto di $\sec (0)$ è $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1^{2})$

Passaggio 5.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{1}{5} (3 - 2 \cdot 1)$

Passaggio 5.1.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{1}{5} (3 - 2)$

Passaggio 5.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{1}{5} \cdot 1$

Passaggio 5.3

Moltiplica $\frac{1}{5}$ per $1$ .

$\frac{1}{5}$

Passaggio 6

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{5}$

Forma decimale:

$0.2$