Calcolo Esempi

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1] + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1]) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.6

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.7

Somma $2 x - 2$ e $0$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.1.2.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.1.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.1.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.1.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.1.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.1.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.1.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.1.9

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{\frac{1}{3}} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 1) \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.2

Applica la proprietà distributiva.

$x^{\frac{1}{3}} (2 x) + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.1

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.1.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x^{\frac{1}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.1.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{\frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.1.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$x^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x^{\frac{3 + 1}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.1.5

Somma $3$ e $1$ .

$x^{\frac{4}{3}} \cdot 2 + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{\frac{4}{3}}$ .

$2 \cdot x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot - 2 + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.3

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 \cdot x^{\frac{1}{3}} + x^{2} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.4

$x^{2}$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2}}{3 x^{\frac{2}{3}}} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.5

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.6

Moltiplica $x^{2}$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.6.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.6.2

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.6.3

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3}{3} - \frac{2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.6.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{2 \cdot 3 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.6.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.6.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{6 - 2}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.6.5.2

Sottrai $2$ da $6$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - 2 x \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.7

$- 2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + x \frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.8

$x$ e $\frac{- 2}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{x \cdot - 2}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 \cdot x}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.10

Sposta $x^{\frac{2}{3}}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.11

Moltiplica $x$ per $x^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.11.1

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x)}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.11.2

Moltiplica $x^{- \frac{2}{3}}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.10.3.11.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 (x^{- \frac{2}{3}} x^{1})}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.11.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + 1}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.11.3

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{- \frac{2}{3} + \frac{3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.11.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{- 2 + 3}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.11.5

Somma $- 2$ e $3$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + 1 \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.13

Moltiplica $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ per $1$ .

$2 x^{\frac{4}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.14

Per scrivere $2 x^{\frac{4}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + 2 x^{\frac{4}{3}} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.15

$2 x^{\frac{4}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3}{3} + \frac{x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.16

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{2 x^{\frac{4}{3}} \cdot 3 + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.17

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{6 x^{\frac{4}{3}} + x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.18

Somma $6 x^{\frac{4}{3}}$ e $x^{\frac{4}{3}}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.19

Per scrivere $- 2 x^{\frac{1}{3}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.20

$- 2 x^{\frac{1}{3}}$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3}{3} - \frac{2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.21

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}} \cdot 3 - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.22

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{3}} - 2 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.23

Sottrai $2 x^{\frac{1}{3}}$ da $- 6 x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{- 8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.3.24

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.1.10.4

Riordina i termini.

$f' (x) = \frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3} + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} - \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $\frac{7}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{7 x^{\frac{4}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ .

$\frac{7}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{4}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.6.2

Sottrai $3$ da $4$ .

$\frac{7}{3} (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.7

$\frac{4}{3}$ e $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.8

Moltiplica $\frac{7}{3}$ per $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{7 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.9

Moltiplica $4$ per $7$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{3 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.2.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ come ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.5.2

Moltiplica $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.5.2.1

$\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.5.2.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.7

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.9.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.9.2

Sottrai $3$ da $2$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.11

$\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.12

$\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.13

Moltiplica $x^{- \frac{1}{3}}$ per $x^{- \frac{4}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.13.1

Sposta $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.13.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.13.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.13.4

Sottrai $1$ da $- 4$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.13.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.14

Sposta $x^{- \frac{5}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{1}{3} (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.15

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{3 (3 x^{\frac{5}{3}})} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.3.16

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- \frac{8}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{8 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Passaggio 1.2.4.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Passaggio 1.2.4.4

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.2.4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Passaggio 1.2.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.6.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Passaggio 1.2.4.6.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Passaggio 1.2.4.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Passaggio 1.2.4.8

$\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{3} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Passaggio 1.2.4.9

Moltiplica $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ per $\frac{8}{3}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{3 \cdot 3}$

Passaggio 1.2.4.10

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 8}{9}$

Passaggio 1.2.4.11

Sposta $8$ alla sinistra di $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{9}$

Passaggio 1.2.4.12

Sposta $x^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Passaggio 2.2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$

Passaggio 2.2.2

Poiché $9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ contiene sia numeri che variabili, ci sono due passaggi per trovare il minimo comune multiplo. Trova il minimo comune multiplo per la parte numerica $9, 9, 9, 1$ , quindi trova il minimo comune multiplo per la parte variabile $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ .

Passaggio 2.2.3

Il minimo comune multiplo è il numero positivo più piccolo divisibile equamente per tutti i numeri.

1. Elenca i fattori primi di ciascun numero.

2. Moltiplica ciascun fattore, preso una sola volta, con l'esponente più grande.

Passaggio 2.2.4

$9$ presenta fattori di $3$ e $3$ .

$3 \cdot 3$

Passaggio 2.2.5

Il numero $1$ non è un numero primo perché ha un solo divisore positivo, cioè se stesso.

Non è primo

Passaggio 2.2.6

Il minimo comune multiplo di $9, 9, 9, 1$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$3 \cdot 3$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $3$ per $3$ .

$9$

Passaggio 2.2.8

Il minimo comune multiplo (mcm) di $x^{\frac{5}{3}}, x^{\frac{2}{3}}$ si ottiene moltiplicando tutti i fattori primi, comuni o non comuni, ciascuno preso una sola volta con l'esponente più grande.

$x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 2.2.9

Il minimo comune multiplo di $9, 9 x^{\frac{5}{3}}, 9 x^{\frac{2}{3}}, 1$ è la parte numerica $9$ moltiplicata per la parte variabile.

$9 x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 2.3

Moltiplica per $9 x^{\frac{5}{3}}$ ciascun termine in $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica ogni termine in $\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} = 0$ per $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$9 \frac{28 x^{\frac{1}{3}}}{9} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$28 x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{5}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.3

Moltiplica $x^{\frac{1}{3}}$ per $x^{\frac{5}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.3.1

Sposta $x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 (x^{\frac{5}{3}} x^{\frac{1}{3}}) - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$28 x^{\frac{5}{3} + \frac{1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.3.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$28 x^{\frac{5 + 1}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.3.4

Somma $5$ e $1$ .

$28 x^{\frac{6}{3}} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.3.5

Dividi $6$ per $3$ .

$28 x^{2} - \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.4

Elimina il fattore comune di $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{9 x^{\frac{5}{3}}}$ nel numeratore.

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$28 x^{2} + \frac{- 2}{9 x^{\frac{5}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$28 x^{2} - 2 - \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.5

Elimina il fattore comune di $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{8}{9 x^{\frac{2}{3}}}$ nel numeratore.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{9 x^{\frac{2}{3}}} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.5.2

Scomponi $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ da $9 x^{\frac{2}{3}}$ .

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (9 x^{\frac{5}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.5.3

Scomponi $x^{\frac{2}{3}} \cdot 9$ da $9 x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (1)} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 (x^{\frac{3}{3}})) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$28 x^{2} - 2 + \frac{- 8}{x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 \cdot 1} (x^{\frac{2}{3}} \cdot 9 x^{\frac{3}{3}}) = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{\frac{3}{3}} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.6

Dividi $3$ per $3$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x^{1} = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.2.1.7

Semplifica.

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 (9 x^{\frac{5}{3}})$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $0 (9 x^{\frac{5}{3}})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1.1

Moltiplica $9$ per $0$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0 x^{\frac{5}{3}}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Moltiplica $0$ per $x^{\frac{5}{3}}$ .

$28 x^{2} - 2 - 8 x = 0$

Passaggio 2.4

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1

Scomponi $2$ da $28 x^{2} - 2 - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1.1.1

Scomponi $2$ da $28 x^{2}$ .

$2 (14 x^{2}) - 2 - 8 x = 0$

Passaggio 2.4.1.1.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) - 8 x = 0$

Passaggio 2.4.1.1.3

Scomponi $2$ da $- 8 x$ .

$2 (14 x^{2}) + 2 (- 1) + 2 (- 4 x) = 0$

Passaggio 2.4.1.1.4

Scomponi $2$ da $2 (14 x^{2}) + 2 (- 1)$ .

$2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x) = 0$

Passaggio 2.4.1.1.5

Scomponi $2$ da $2 (14 x^{2} - 1) + 2 (- 4 x)$ .

$2 (14 x^{2} - 1 - 4 x) = 0$

Passaggio 2.4.1.2

Riordina i termini.

$2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$

Passaggio 2.4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 (14 x^{2} - 4 x - 1) = 0$ .

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (14 x^{2} - 4 x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2.2.1.2

Dividi $14 x^{2} - 4 x - 1$ per $1$ .

$14 x^{2} - 4 x - 1 = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$14 x^{2} - 4 x - 1 = 0$

Passaggio 2.4.3

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.4

Sostituisci i valori $a = 14$ , $b = - 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{4 \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} - 4 \cdot (14 \cdot - 1)}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5.1.2.2

Moltiplica $- 56$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5.1.3

Somma $16$ e $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5.1.4

Riscrivi $72$ come $6^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.5.1.4.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5.1.4.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.5.2

Moltiplica $2$ per $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Passaggio 2.4.5.3

Semplifica $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Passaggio 2.4.6

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.6.1.2.2

Moltiplica $- 56$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.6.1.3

Somma $16$ e $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.6.1.4

Riscrivi $72$ come $6^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.6.1.4.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.6.1.4.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.6.2

Moltiplica $2$ per $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Passaggio 2.4.6.3

Semplifica $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Passaggio 2.4.6.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}$

Passaggio 2.4.7

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1.1

Eleva $- 4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 14 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 14 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $14$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 56 \cdot - 1}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.7.1.2.2

Moltiplica $- 56$ per $- 1$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 56}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.7.1.3

Somma $16$ e $56$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{72}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.7.1.4

Riscrivi $72$ come $6^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.7.1.4.1

Scomponi $36$ da $72$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{36 (2)}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.7.1.4.2

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$x = \frac{4 \pm \sqrt{6^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{2 \cdot 14}$

Passaggio 2.4.7.2

Moltiplica $2$ per $14$ .

$x = \frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$

Passaggio 2.4.7.3

Semplifica $\frac{4 \pm 6 \sqrt{2}}{28}$ .

$x = \frac{2 \pm 3 \sqrt{2}}{14}$

Passaggio 2.4.7.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

Passaggio 2.4.8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{2 + 3 \sqrt{2}}{14}, \frac{2 - 3 \sqrt{2}}{14}$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0.4459029$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.4459029$ nell'espressione.

$f (0.4459029) = {(0.4459029)}^{\frac{1}{3}} ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Eleva $0.4459029$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 ({(0.4459029)}^{2} - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Eleva $0.4459029$ alla potenza di $2$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 2 \cdot 0.4459029 + 1)$

Passaggio 3.1.2.2.2

Moltiplica $- 2$ per $0.4459029$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (0.1988294 - 0.89180581 + 1)$

Passaggio 3.1.2.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.3.1

Sottrai $0.89180581$ da $0.1988294$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 (- 0.69297641 + 1)$

Passaggio 3.1.2.3.2

Somma $- 0.69297641$ e $1$ .

$f (0.4459029) = 0.76397667 \cdot 0.30702358$

Passaggio 3.1.2.3.3

Moltiplica $0.76397667$ per $0.30702358$ .

$f (0.4459029) = 0.23455886$

Passaggio 3.1.2.4

La risposta finale è $0.23455886$ .

$0.23455886$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0.4459029$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ è $(0.4459029, 0.23455886)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0.4459029, 0.23455886)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 0.16018862$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.16018862$ nell'espressione.

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} ({(- 0.16018862)}^{2} - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 0.16018862$ alla potenza di $2$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 - 2 \cdot - 0.16018862 + 1)$

Passaggio 3.3.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 0.16018862$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.02566039 + 0.32037724 + 1)$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Somma $0.02566039$ e $0.32037724$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} (0.34603763 + 1)$

Passaggio 3.3.2.2.2

Somma $0.34603763$ e $1$ .

$f (- 0.16018862) = {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}} \cdot 1.34603763$

Passaggio 3.3.2.2.3

Sposta $1.34603763$ alla sinistra di ${(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (- 0.16018862) = 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$ .

$1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 0.16018862$ in $f (x) = x^{\frac{1}{3}} (x^{2} - 2 x + 1)$ è $(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0.4459029, 0.23455886), (- 0.16018862, 1.34603763 {(- 0.16018862)}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 0.16018862) \cup (- 0.16018862, 0.4459029) \cup (0.4459029, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 0.16018862)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 0.26018862$ nell'espressione.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Per scrivere $- \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.2.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Moltiplica $\frac{8}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{{(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2

Moltiplica ${(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Sposta ${(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 ({(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}} {(- 0.26018862)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 5.2.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

Passaggio 5.2.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{3 + 2}{3}}}$

Passaggio 5.2.2.2.4

Somma $3$ e $2$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 {(- 0.26018862)}^{\frac{3}{3}}}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.4.1.2

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

Calcola l'esponente.

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 - 8 \cdot - 0.26018862}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 0.26018862$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{- 2 + 2.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.4.2.3

Somma $- 2$ e $2.08150896$ .

$f'' (- 0.26018862) = \frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.2.5

La risposta finale è $\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$ .

$\frac{28 {(- 0.26018862)}^{\frac{1}{3}}}{9} + \frac{0.08150896}{9 {(- 0.26018862)}^{\frac{5}{3}}}$

Passaggio 5.3

Per $- 0.26018862$ , la derivata seconda è $- 2.07155288$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 0.16018862)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 0.16018862)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 0.16018862, 0.4459029)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.\overline{142857}$ nell'espressione.

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 {(0.\overline{142857})}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $0.\overline{142857}$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{28 \cdot 0.52275795}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $28$ per $0.52275795$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = \frac{14.63722284}{9} - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.3

Dividi $14.63722284$ per $9$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $0.\overline{142857}$ alla potenza di $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{9 \cdot 0.03903941} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $9$ per $0.03903941$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - \frac{2}{0.3513547} - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.6

Dividi $2$ per $0.3513547$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 1 \cdot 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $5.69225332$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 {(0.\overline{142857})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6.2.1.8

Eleva $0.\overline{142857}$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{9 \cdot 0.27327588}$

Passaggio 6.2.1.9

Moltiplica $9$ per $0.27327588$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - \frac{8}{2.45948294}$

Passaggio 6.2.1.10

Dividi $8$ per $2.45948294$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 1 \cdot 3.25271618$

Passaggio 6.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $3.25271618$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = 1.62635809 - 5.69225332 - 3.25271618$

Passaggio 6.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $5.69225332$ da $1.62635809$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = - 4.06589523 - 3.25271618$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $3.25271618$ da $- 4.06589523$ .

$f'' (0.\overline{142857}) = - 7.31861142$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 7.31861142$ .

$- 7.31861142$

Passaggio 6.3

Per $0.\overline{142857}$ , la derivata seconda è $- 7.31861142$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 0.16018862, 0.4459029)$ .

Decrescente su $(- 0.16018862, 0.4459029)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0.4459029, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.5459029$ nell'espressione.

$f'' (0.5459029) = \frac{28 {(0.5459029)}^{\frac{1}{3}}}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.5459029$ alla potenza di $\frac{1}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{28 \cdot 0.81728175}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $28$ per $0.81728175$ .

$f'' (0.5459029) = \frac{22.88388904}{9} - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.3

Dividi $22.88388904$ per $9$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 {(0.5459029)}^{\frac{5}{3}}} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.4

Eleva $0.5459029$ alla potenza di $\frac{5}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{9 \cdot 0.36463555} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $9$ per $0.36463555$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - \frac{2}{3.28171997} - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.6

Dividi $2$ per $3.28171997$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 1 \cdot 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.7

Moltiplica $- 1$ per $0.60943652$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 {(0.5459029)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 7.2.1.8

Eleva $0.5459029$ alla potenza di $\frac{2}{3}$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{9 \cdot 0.66794946}$

Passaggio 7.2.1.9

Moltiplica $9$ per $0.66794946$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - \frac{8}{6.01154515}$

Passaggio 7.2.1.10

Dividi $8$ per $6.01154515$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1 \cdot 1.33077267$

Passaggio 7.2.1.11

Moltiplica $- 1$ per $1.33077267$ .

$f'' (0.5459029) = 2.54265433 - 0.60943652 - 1.33077267$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $0.60943652$ da $2.54265433$ .

$f'' (0.5459029) = 1.93321781 - 1.33077267$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $1.33077267$ da $1.93321781$ .

$f'' (0.5459029) = 0.60244514$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.60244514$ .

$0.60244514$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.5459029$ , la derivata seconda è $0.60244514$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0.4459029, \infty)$ .

Crescente su $(0.4459029, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0.4459029, 0.23455886)$ .

$(0.4459029, 0.23455886)$

Passaggio 9