Calcolo Esempi

$\frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{2 x + 3}{x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{2 x + 3}{x^{2}} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (2 x + 3) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 4.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 x + 3) x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int (2 x + 3) x^{- 2} d x$

Passaggio 5

Moltiplica $(2 x + 3) x^{- 2}$ .

$\int 2 x \cdot x^{- 2} + 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 6

Moltiplica $x$ per $x^{- 2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{- 2}$ .

$\int 2 (x^{- 2} x) + 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x^{- 2}$ per $x$ .

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Passaggio 6.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int 2 (x^{- 2} x^{1}) + 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 x^{- 2 + 1} + 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 6.3

Somma $- 2$ e $1$ .

$\int 2 x^{- 1} + 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 7

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int x^{- 1} d x + \int 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 9

L'integrale di $x^{- 1}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + \int 3 x^{- 2} d x$

Passaggio 10

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 \int x^{- 2} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$2 (\ln (| x |) + C) + 3 (- x^{- 1} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$2 \ln (| x |) + 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$2 \ln (| x |) - 3 \frac{1}{x} + C$

Passaggio 12.2.2

$- 3$ e $\frac{1}{x}$ .

$2 \ln (| x |) + \frac{- 3}{x} + C$

Passaggio 12.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{2 x + 3}{x^{2}}$ .

$F (x) =$ $2 \ln (| x |) - \frac{3}{x} + C$