Calcolo Esempi

$\int 5 x^{3} - \frac{3}{x} + \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 5 x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 2

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$5 \int x^{3} d x + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int - \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - \int \frac{3}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{1}{4} x^{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

$\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - (3 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 7

L'integrale di $\frac{1}{x}$ rispetto a $x$ è $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{1}{2 \sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Passaggio 9

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 9.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x}$ come $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Passaggio 9.2

Sposta $x^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Passaggio 9.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 9.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Passaggio 9.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Passaggio 9.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 (\frac{x^{4}}{4} + C) - 3 (\ln (| x |) + C) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 11

Semplifica.

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Passaggio 11.1

Semplifica.

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}) + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{1}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2} + C$

Passaggio 11.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{5 x^{4}}{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{4} + C$

Passaggio 11.3

Riordina i termini.

$\frac{5}{4} x^{4} - 3 \ln (| x |) + \frac{3}{4} x^{\frac{2}{3}} + C$