Calcolo Esempi

$\frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Passaggio 1

Sia $x = \tan (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \sec^{2} (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\sec^{2} (t)$ è positivo.

$\int \frac{1}{\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\sqrt{\tan^{2} (t) + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\int \frac{1}{\sqrt{\sec^{2} (t)}} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.1.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \frac{1}{\sec (t)} \sec^{2} (t) d t$

Passaggio 2.2

Elimina il fattore comune di $\sec (t)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $\sec (t)$ da $\sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{1}{\sec (t)} (\sec (t) \sec (t)) d t$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \sec (t) d t$

Passaggio 3

L'integrale di $\sec (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arctan (x)$ .

$\ln (| \sec (\arctan (x)) + \tan (\arctan (x)) |) + C$