Calcolo Esempi

Let $g (x) = \frac{x^{2} - 3}{x + 2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x^{2} - 3$ e $g (x) = x + 2$ .

$\frac{(x + 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 3] - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(x + 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.3

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x + 0) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.4.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{(x + 2) (2 x) - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.4.2

Sposta $2$ alla sinistra di $x + 2$ .

$\frac{2 \cdot (x + 2) x - (x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [x + 2]}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + \frac{d}{d x} [2])}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.7

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) (1 + 0)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.8.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3) \cdot 1}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.2.8.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 (x + 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot 2) x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - (x^{2} - 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1.1.1

Sposta $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot 2 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} - - 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 4 x - x^{2} + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 4 x + 3}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.1.3.5

Scomponi $x^{2} + 4 x + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.3.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $4$ .

$1, 3$

Passaggio 1.1.3.5.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$f' (x) = \frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $g (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$(x + 1) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Risolvi l'equazione per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 2.3.3

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3.3.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.3.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x + 3) = 0$ vera.

$x = - 1, - 3$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta il denominatore in $\frac{(x + 1) (x + 3)}{{(x + 2)}^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

${(x + 2)}^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poni $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 3.2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 4

Risolvi $\frac{x^{2} - 3}{x + 2}$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 1$ a $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 3}{(- 1) + 2}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 - 3}{- 1 + 2}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{- 2}{- 1 + 2}$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $- 1$ e $2$ .

$\frac{- 2}{1}$

Passaggio 4.1.2.2.2

Dividi $- 2$ per $1$ .

$- 2$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

$\frac{{(- 3)}^{2} - 3}{(- 3) + 2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{9 - 3}{- 3 + 2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Sottrai $3$ da $9$ .

$\frac{6}{- 3 + 2}$

Passaggio 4.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Somma $- 3$ e $2$ .

$\frac{6}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2.2

Dividi $6$ per $- 1$ .

$- 6$

Passaggio 4.3

Calcola per $x = - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{(- 2) + 2}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$\frac{{(- 2)}^{2} - 3}{0}$

Passaggio 4.3.2.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

Passaggio 4.4

Elenca tutti i punti.

$(- 1, - 2), (- 3, - 6)$

Passaggio 5