Calcolo Esempi

$\int (x^{3} + x) \sqrt{x^{4} + 2 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Allora $d u = (4 x^{3} + 4 x) d x$ , quindi $\frac{1}{4} d u = (x^{3} + x) d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sia $u = x^{4} + 2 x^{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4} + 2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{4} + 2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 x^{3} + 2 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x^{3} + 4 x$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} \frac{1}{4} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{\sqrt{u}}{4} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{4} \int \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Riscrivi $\frac{1}{4} (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ come $\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{4 \cdot 3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{2}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 6.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{6} u^{\frac{3}{2}} + C$

Passaggio 7

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4} + 2 x^{2}$ .

$\frac{1}{6} {(x^{4} + 2 x^{2})}^{\frac{3}{2}} + C$