Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

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Passaggio 1.1

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 1.1.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$- 2 x^{- 3}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 1.3.2.1

$- 2$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}}$

Passaggio 1.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2}{x^{3}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{3}}$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x^{3})}^{- 1}$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3 \cdot - 1}$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{- 3}$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 3$ .

$f'' (x) = - 2 (- 3 x^{- 4})$

Passaggio 2.4

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{- 4}$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 6 (\frac{1}{x^{4}})$

Passaggio 2.5.2

$6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$f'' (x) = \frac{6}{x^{4}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{2}{x^{3}} = 0$

Passaggio 4

Poiché non c'è alcun valore di $x$ che rende la derivata prima uguale a $0$ , non ci sono estremi locali.

Nessun estremo locale

Passaggio 5

Nessun estremo locale

Passaggio 6