Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} \frac{2 \arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{0}^{1} \frac{\arctan (x)}{1 + x^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = \arctan (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$ , quindi $- d u = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sia $u = \arctan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Differenzia $\arctan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\arctan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 2.1.3

Riordina i termini.

$\frac{1}{x^{2} + 1}$

Passaggio 2.1.4

Rimetti in ordine i termini.

$\frac{1}{1 + x^{2}}$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \arctan (x)$ .

$u_{lower} = \arctan (0)$

Passaggio 2.3

Il valore esatto di $\arctan (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \arctan (x)$ .

$u_{upper} = \arctan (1)$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$2 \int_{0}^{\frac{π}{4}} u d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Passaggio 4

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{0}^{\frac{π}{4}})$

Passaggio 5

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $\frac{π}{4}$ e per $0$ .

$2 ((\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Passaggio 5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{2})$

Passaggio 5.2.2

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 (0)}{2})$

Passaggio 5.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Passaggio 5.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - \frac{0}{1})$

Passaggio 5.2.2.2.4

Dividi $0$ per $1$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} - 0)$

Passaggio 5.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 (\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2} + 0)$

Passaggio 5.2.4

Somma $\frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$ e $0$ .

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{{(\frac{π}{4})}^{2}}{2}$

Passaggio 6.1.2

Riscrivi l'espressione.

${(\frac{π}{4})}^{2}$

Passaggio 6.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π^{2}}{4^{2}}$

Passaggio 6.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{π^{2}}{16}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{π^{2}}{16}$

Forma decimale:

$0.61685027 \dots$