Calcolo Esempi

$y = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2] + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$ .

$0 - 4 \frac{d}{d x} [\sin (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ .

$0 - 4 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{d}{d x} [\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{3}]))$

Passaggio 1.2.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}]$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Passaggio 1.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3}])))$

Passaggio 1.2.6

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} (1 + 0)))$

Passaggio 1.2.7

Somma $1$ e $0$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) (\frac{π}{2} \cdot 1))$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$0 - 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) \frac{π}{2})$

Passaggio 1.2.9

$\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3}))$ e $\frac{π}{2}$ .

$0 - 4 \frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$

Passaggio 1.2.10

$- 4$ e $\frac{\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{2}$ .

$0 + \frac{- 4 (\cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Passaggio 1.2.11

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Scomponi $2$ da $- 4 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2}$

Passaggio 1.2.11.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 (1)}$

Passaggio 1.2.11.2.2

Elimina il fattore comune.

$0 + \frac{2 (- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.11.2.3

Riscrivi l'espressione.

$0 + \frac{- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π}{1}$

Passaggio 1.2.11.2.4

Dividi $- 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$ per $1$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} (x - \frac{1}{3})) π$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x + \frac{π}{2} (- \frac{1}{3})) π$

Passaggio 1.3.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{2 \cdot 3}) π$

Passaggio 1.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π}{2} x - \frac{π}{6}) π$

Passaggio 1.3.2.3

$\frac{π}{2}$ e $x$ .

$0 - 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Passaggio 1.3.2.4

Sottrai $2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ da $0$ .

$- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$

Passaggio 1.3.3

Riordina i fattori di $- 2 \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) π$ .

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 2 π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ rispetto a $x$ è $- 2 π \frac{d}{d x} [\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})]$ .

$f'' (x) = - 2 π \frac{d}{d x} \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (u) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ .

$f'' (x) = - 2 π (- \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 2 π (\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) \frac{d}{d x} (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{π x}{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{6}]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{d}{d x} (\frac{π x}{2}) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.3

Poiché $\frac{π}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{π x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.6

Poiché $- \frac{π}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{6}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2} + 0)$

Passaggio 2.3.7

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.7.2

$\frac{π}{2}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot 2}{2} \cdot (π \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}))$

Passaggio 2.3.7.3

$\frac{π \cdot 2}{2}$ e $π$ .

$f'' (x) = \frac{π \cdot (2 π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.4

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.5

Eleva $π$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 (π π)}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = \frac{2 π^{1 + 1}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.7

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2}}{2} \cdot \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.8

$\frac{2 π^{2}}{2}$ e $\sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ .

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Passaggio 2.9

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{2 π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{2}$

Passaggio 2.9.2

Dividi $π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ per $1$ .

$f'' (x) = π^{2} \sin (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 2 π$ ciascun termine in $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 2 π$ ciascun termine in $- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$ .

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{- 2 π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{π \cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})}{π} = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6})$ per $1$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- 2 π}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Scomponi $2$ da $0$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{- 2 π}$

Passaggio 4.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $- 2 π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 (0)}{2 (- π)}$

Passaggio 4.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot 0}{2 (- π)}$

Passaggio 4.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = \frac{0}{- π}$

Passaggio 4.3.2

Dividi $0$ per $- π$ .

$\cos (\frac{π x}{2} - \frac{π}{6}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Somma $\frac{π}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} + \frac{π}{6}$

Passaggio 7.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π x}{2} = \frac{π \cdot 3 + π}{6}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 \cdot π + π}{6}$

Passaggio 7.5.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{4 π}{6}$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{6}$

Passaggio 7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 (3)}$

Passaggio 7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (2 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 8

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Semplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1.1.1

Scomponi $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Passaggio 9.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 2}{3}$

Passaggio 9.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (\frac{2}{3})$

Passaggio 9.2.1.2

$2$ e $\frac{2}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{3}$

Passaggio 9.2.1.3

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4}{3}$

Passaggio 10

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 11.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 11.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 11.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $\frac{π}{6}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.2

Per scrivere $\frac{3 π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3}{6} + \frac{π}{6}$

Passaggio 11.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π x}{2} = \frac{3 π \cdot 3 + π}{6}$

Passaggio 11.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.5.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{9 π + π}{6}$

Passaggio 11.2.5.2

Somma $9 π$ e $π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{10 π}{6}$

Passaggio 11.2.6

Elimina il fattore comune di $10$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.1

Scomponi $2$ da $10 π$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{6}$

Passaggio 11.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 (3)}$

Passaggio 11.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{π x}{2} = \frac{2 (5 π)}{2 \cdot 3}$

Passaggio 11.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π x}{2} = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\frac{2}{π}$ .

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.4

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1

Semplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{π} \cdot \frac{π x}{2} = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.4.1.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.1.1.2.1

Scomponi $π$ da $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.4.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.4.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

Semplifica $\frac{2}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $π$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1.1.1

Scomponi $π$ da $5 π$ .

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Passaggio 11.4.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Passaggio 11.4.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (\frac{5}{3})$

Passaggio 11.4.2.1.2

$2$ e $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{2 \cdot 5}{3}$

Passaggio 11.4.2.1.3

Moltiplica $2$ per $5$ .

$x = \frac{10}{3}$

Passaggio 12

La soluzione dell'equazione $\frac{π x}{2} - \frac{π}{6} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{4}{3}, \frac{10}{3}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{4}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{4}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

$π$ e $\frac{4}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 4}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.1.2

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{4 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π^{2} \sin (\frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.4.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$π^{2} \sin (\frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Passaggio 14.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$π^{2} \sin (\frac{2 π \cdot 2 - π}{6})$

Passaggio 14.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{4 π - π}{6})$

Passaggio 14.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{6})$

Passaggio 14.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (π)}{6})$

Passaggio 14.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 14.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{3 \cdot 2})$

Passaggio 14.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$π^{2} \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$π^{2} \cdot 1$

Passaggio 14.8

Moltiplica $π^{2}$ per $1$ .

$π^{2}$

Passaggio 15

$x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{4}{3}$ è un minimo locale

Passaggio 16

Trova il valore di y quando $x = \frac{4}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{4}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{4}{3}) - \frac{1}{3}))$

Passaggio 16.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{4 - 1}{3})$

Passaggio 16.2.1.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 16.2.1.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.2.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Passaggio 16.2.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 1)$

Passaggio 16.2.1.4

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 16.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4 \cdot 1$

Passaggio 16.2.1.6

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 2 - 4$

Passaggio 16.2.2

Sottrai $4$ da $- 2$ .

$f (\frac{4}{3}) = - 6$

Passaggio 16.2.3

La risposta finale è $- 6$ .

$y = - 6$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{10}{3}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$π^{2} \sin (\frac{π (\frac{10}{3})}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.1

$π$ e $\frac{10}{3}$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{π \cdot 10}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.2

Sposta $10$ alla sinistra di $π$ .

$π^{2} \sin (\frac{\frac{10 π}{3}}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π^{2} \sin (\frac{10 π}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1.4.1

Scomponi $2$ da $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$π^{2} \sin (\frac{2 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.2

Per scrivere $\frac{5 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.3.1

Moltiplica $\frac{5 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6})$

Passaggio 18.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$π^{2} \sin (\frac{5 π \cdot 2 - π}{6})$

Passaggio 18.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.5.1

Moltiplica $2$ per $5$ .

$π^{2} \sin (\frac{10 π - π}{6})$

Passaggio 18.5.2

Sottrai $π$ da $10 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{9 π}{6})$

Passaggio 18.6

Elimina il fattore comune di $9$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.1

Scomponi $3$ da $9 π$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{6})$

Passaggio 18.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 (2)})$

Passaggio 18.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$π^{2} \sin (\frac{3 (3 π)}{3 \cdot 2})$

Passaggio 18.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 18.7

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 18.8

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$π^{2} (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 18.9

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$π^{2} \cdot - 1$

Passaggio 18.10

Sposta $- 1$ alla sinistra di $π^{2}$ .

$- 1 \cdot π^{2}$

Passaggio 18.11

Riscrivi $- 1 π^{2}$ come $- π^{2}$ .

$- π^{2}$

Passaggio 19

$x = \frac{10}{3}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{10}{3}$ è un massimo locale

Passaggio 20

Trova il valore di y quando $x = \frac{10}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{10}{3}$ nell'espressione.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot ((\frac{10}{3}) - \frac{1}{3}))$

Passaggio 20.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{10 - 1}{3})$

Passaggio 20.2.1.2

Sottrai $1$ da $10$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot \frac{9}{3})$

Passaggio 20.2.1.3

Dividi $9$ per $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot 3)$

Passaggio 20.2.1.4

$\frac{π}{2}$ e $3$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{π \cdot 3}{2})$

Passaggio 20.2.1.5

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \sin (\frac{3 \cdot π}{2})$

Passaggio 20.2.1.6

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 20.2.1.7

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 20.2.1.8

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.2.1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 - 4 \cdot - 1$

Passaggio 20.2.1.8.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f (\frac{10}{3}) = - 2 + 4$

Passaggio 20.2.2

Somma $- 2$ e $4$ .

$f (\frac{10}{3}) = 2$

Passaggio 20.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 21

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 2 - 4 \sin (\frac{π}{2} \cdot (x - \frac{1}{3}))$ .

$(\frac{4}{3}, - 6)$ è un minimo locale

$(\frac{10}{3}, 2)$ è un massimo locale

Passaggio 22