Calcolo Esempi

$y = \arctan (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (\frac{x}{2}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\arctan (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{1 + {(\frac{x}{2})}^{2}}$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})} \cdot 1$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$ per $1$ .

$\frac{1}{2 (1 + {(\frac{x}{2})}^{2})}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x}{2}$ .

$\frac{1}{2 (1 + \frac{x^{2}}{2^{2}})}$

Passaggio 3.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2 \cdot 1 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 3.3.3

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 3.3.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2 + 2 \frac{x^{2}}{4}}$

Passaggio 3.3.3.3

$2$ e $\frac{x^{2}}{4}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{4}}$

Passaggio 3.3.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

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Passaggio 3.3.3.4.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 (x^{2})}{4}}$

Passaggio 3.3.3.4.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.3.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.3.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 + \frac{2 x^{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 3.3.3.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2 + \frac{x^{2}}{2}}$

Passaggio 3.3.4

Riordina i termini.

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2}$

Passaggio 3.3.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.3.5.1

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 3.3.5.2

$2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 2 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 3.3.5.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{1}{\frac{x^{2} + 4}{2}}$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \frac{2}{x^{2} + 4}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $\frac{2}{x^{2} + 4}$ per $1$ .

$\frac{2}{x^{2} + 4}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{2}{x^{2} + 4}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{x^{2} + 4}$