Calcolo Esempi

$f (x) = x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ ?

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} - \frac{2}{x^{3}} - 4 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{3}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2}{x^{3}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{3}}$ come ${(x^{3})}^{- 1}$ .

$5 x^{4} - 2 \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{3}$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$5 x^{4} - 2 (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.5.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$5 x^{4} - 2 (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.6

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $x^{- 6}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Sposta $x^{2}$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.7.3

Sottrai $6$ da $2$ .

$5 x^{4} - 2 (- 3 x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.2.8

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 x^{4} + 6 x^{- 4} - 4 + 0$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 x^{4} + 6 \frac{1}{x^{4}} - 4 + 0$

Passaggio 1.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

$6$ e $\frac{1}{x^{4}}$ .

$5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4 + 0$

Passaggio 1.5.2.2

Somma $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + \frac{6}{x^{4}} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{4}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{6}{x^{4}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{4}}$ come ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$20 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{4}$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}]) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$20 x^{3} + 6 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$20 x^{3} + 6 (- x^{- 8} (4 x^{3})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 8} x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $x^{- 8}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.7.1

Sposta $x^{3}$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 (x^{3} x^{- 8})) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{3 - 8}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.7.3

Sottrai $8$ da $3$ .

$20 x^{3} + 6 (- 4 x^{- 5}) + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $- 4$ per $6$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + \frac{d}{d x} [- 4]$

Passaggio 2.4

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$20 x^{3} - 24 x^{- 5} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 x^{3} - 24 \frac{1}{x^{5}} + 0$

Passaggio 2.5.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

$- 24$ e $\frac{1}{x^{5}}$ .

$20 x^{3} + \frac{- 24}{x^{5}} + 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}} + 0$

Passaggio 2.5.2.3

Somma $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $20 x^{3} - \frac{24}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{24}{x^{5}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Poiché $- 24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{24}{x^{5}}$ rispetto a $x$ è $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{5}}$ come ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$60 x^{2} - 24 \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{5}$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$60 x^{2} - 24 (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.5.2

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$60 x^{2} - 24 (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $x^{- 10}$ per $x^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.7.1

Sposta $x^{4}$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Passaggio 3.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{4 - 10})$

Passaggio 3.3.7.3

Sottrai $10$ da $4$ .

$60 x^{2} - 24 (- 5 x^{- 6})$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 5$ per $- 24$ .

$60 x^{2} + 120 x^{- 6}$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$60 x^{2} + 120 \frac{1}{x^{6}}$

Passaggio 3.4.2

$120$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$

Passaggio 4

Trova la derivata quarta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $60 x^{2} + \frac{120}{x^{6}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Passaggio 4.2

Calcola $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Poiché $60$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $60 x^{2}$ rispetto a $x$ è $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Passaggio 4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Passaggio 4.2.3

Moltiplica $2$ per $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$

Passaggio 4.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{120}{x^{6}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Poiché $120$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{120}{x^{6}}$ rispetto a $x$ è $120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{6}}]$

Passaggio 4.3.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{6}}$ come ${(x^{6})}^{- 1}$ .

$120 x + 120 \frac{d}{d x} [{(x^{6})}^{- 1}]$

Passaggio 4.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{6}$ .

$120 x + 120 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 4.3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$120 x + 120 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 4.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{6}$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{6}])$

Passaggio 4.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$120 x + 120 (- {(x^{6})}^{- 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{6})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$120 x + 120 (- x^{6 \cdot - 2} (6 x^{5}))$

Passaggio 4.3.5.2

Moltiplica $6$ per $- 2$ .

$120 x + 120 (- x^{- 12} (6 x^{5}))$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 12} x^{5})$

Passaggio 4.3.7

Moltiplica $x^{- 12}$ per $x^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Sposta $x^{5}$ .

$120 x + 120 (- 6 (x^{5} x^{- 12}))$

Passaggio 4.3.7.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$120 x + 120 (- 6 x^{5 - 12})$

Passaggio 4.3.7.3

Sottrai $12$ da $5$ .

$120 x + 120 (- 6 x^{- 7})$

Passaggio 4.3.8

Moltiplica $- 6$ per $120$ .

$120 x - 720 x^{- 7}$

Passaggio 4.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$120 x - 720 \frac{1}{x^{7}}$

Passaggio 4.4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

$- 720$ e $\frac{1}{x^{7}}$ .

$120 x + \frac{- 720}{x^{7}}$

Passaggio 4.4.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f^{4} (x) = 120 x - \frac{720}{x^{7}}$

Passaggio 5

La derivata quarta di $f (x)$ rispetto a $x$ è $120 x - \frac{720}{x^{7}}$ .

$120 x - \frac{720}{x^{7}}$