Calcolo Esempi

$y = \frac{\sec (x)}{1 + \tan (x)}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = \sec (x)$ e $g (x) = 1 + \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \frac{d}{d x} [\sec (x)] - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 2

La derivata di $\sec (x)$ rispetto a $x$ è $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) (\sec (x) \tan (x)) - \sec (x) \frac{d}{d x} [1 + \tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \tan (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 3.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) (0 + \frac{d}{d x} [\tan (x)])}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 4

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec (x) \sec^{2} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 5

Moltiplica $\sec (x)$ per $\sec^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 5.1

Sposta $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $\sec^{2} (x)$ per $\sec (x)$ .

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Passaggio 5.2.1

Eleva $\sec (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - (\sec^{2} (x) \sec^{1} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 5.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - {\sec (x)}^{2 + 1}}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 5.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{(1 + \tan (x)) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(1 \sec (x) + \tan (x) \sec (x)) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 \sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Moltiplica $\sec (x)$ per $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica $\tan (x) \sec (x) \tan (x)$ .

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Passaggio 6.3.1.2.1

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.2

Eleva $\tan (x)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)$ .

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Passaggio 6.3.2.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \tan^{2} (x) \sec (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.2

Scomponi $\sec (x)$ da $\tan^{2} (x) \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) - \sec^{3} (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.3

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec^{3} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.4

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.2.5

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x)) + \sec (x) (- \sec^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) + \tan^{2} (x) - \sec^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.3

Riordina $\tan^{2} (x)$ e $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - \sec^{2} (x) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.4

Scomponi $- 1$ da $- \sec^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) + \tan^{2} (x))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.5

Scomponi $- 1$ da $\tan^{2} (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.6

Scomponi $- 1$ da $- (\sec^{2} (x)) - 1 (- \tan^{2} (x))$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x)))}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1 \cdot 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.8

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.9

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.10

Sposta $- 1$ alla sinistra di $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - 1 \cdot \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.3.11

Riscrivi $- 1 \sec (x)$ come $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x) - \sec (x)$ .

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Passaggio 6.4.1

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) - \sec (x)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.2

Scomponi $\sec (x)$ da $- \sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$

Passaggio 6.4.3

Scomponi $\sec (x)$ da $\sec (x) (\tan (x)) + \sec (x) \cdot - 1$ .

$\frac{\sec (x) (\tan (x) - 1)}{{(1 + \tan (x))}^{2}}$