Calcolo Esempi

$\int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} - 2 \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 2$ fuori dall'integrale.

$- 2 \int_{- \frac{π}{2}}^{- \frac{π}{4}} \cot (x) \csc^{2} (x) d x$

Passaggio 2

Sia $u = \csc (x)$ . Allora $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , quindi $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = \csc (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\csc (x)$ rispetto a $x$ è $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Passaggio 2.1.3

Riordina i fattori di $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Passaggio 2.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \csc (x)$ .

$u_{lower} = \csc (- \frac{π}{2})$

Passaggio 2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.3.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{lower} = \csc (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 2.3.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$u_{lower} = - \csc (\frac{π}{2})$

Passaggio 2.3.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{lower} = - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = - 1$

Passaggio 2.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \csc (x)$ .

$u_{upper} = \csc (- \frac{π}{4})$

Passaggio 2.5

Semplifica.

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Passaggio 2.5.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$u_{upper} = \csc (\frac{7 π}{4})$

Passaggio 2.5.2

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la cosecante è negativa nel quarto quadrante.

$u_{upper} = - \csc (\frac{π}{4})$

Passaggio 2.5.3

Il valore esatto di $\csc (\frac{π}{4})$ è $\sqrt{2}$ .

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = - 1$

$u_{upper} = - \sqrt{2}$

Passaggio 2.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - 1 u d u$

Passaggio 3

Riscrivi $- 1 u$ come $- u$ .

$- 2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} - u d u$

Passaggio 4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- 2 (- \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u)$

Passaggio 5

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$2 \int_{- 1}^{- \sqrt{2}} u d u$

Passaggio 6

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Passaggio 7

$\frac{1}{2}$ e $u^{2}$ .

$2 (\frac{u^{2}}{2}]_{- 1}^{- \sqrt{2}})$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{u^{2}}{2}$ per $- \sqrt{2}$ e per $- 1$ .

$2 ((\frac{{(- \sqrt{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Scomponi $- 1$ da $- \sqrt{2}$ .

$2 (\frac{{(- (\sqrt{2}))}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.2

Applica la regola del prodotto a $- (\sqrt{2})$ .

$2 (\frac{{(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 (\frac{1 {\sqrt{2}}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.4

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 8.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{1 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (\frac{1 \cdot 2^{1}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.4.5

Calcola l'esponente.

$2 (\frac{1 \cdot 2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$2 (1 - \frac{{(- 1)}^{2}}{2})$

Passaggio 8.2.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$2 (1 - \frac{1}{2})$

Passaggio 8.2.8

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$2 (\frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Passaggio 8.2.9

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 \frac{2 - 1}{2}$

Passaggio 8.2.10

Sottrai $1$ da $2$ .

$2 (\frac{1}{2})$

Passaggio 8.2.11

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2}$

Passaggio 8.2.12

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2}$

Passaggio 8.2.12.2

Riscrivi l'espressione.

$1$