Calcolo Esempi

$\cos (2 x + 3 y^{3}) = 3 y^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (\cos (2 x + 3 y^{3})) = \frac{d}{d x} (3 y^{2})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x + 3 y^{3}$ .

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Passaggio 2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $2 x + 3 y^{3}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Passaggio 2.1.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $2 x + 3 y^{3}$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \frac{d}{d x} [2 x + 3 y^{3}]$

Passaggio 2.2

Differenzia.

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Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 3 y^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Passaggio 2.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + \frac{d}{d x} [3 y^{3}])$

Passaggio 2.2.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{3}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 3 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.4

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 (y^{2} \frac{d}{d x} [y]))$

Passaggio 2.5

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$6 y y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.1.1

Semplifica $- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y')$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Riscrivi.

$0 + 0 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica aggiungendo gli zeri.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) (2 + 9 y^{2} y') = 6 y y'$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \sin (2 x + 3 y^{3}) \cdot 2 - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Passaggio 5.1.1.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1.1.4.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - \sin (2 x + 3 y^{3}) (9 y^{2} y') = 6 y y'$

Passaggio 5.1.1.4.2

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y') = 6 y y'$

Passaggio 5.1.1.4.3

Riordina i fattori in $- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 \sin (2 x + 3 y^{3}) (y^{2} y')$ .

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) = 6 y y'$

Passaggio 5.2

Sottrai $6 y y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \sin (2 x + 3 y^{3}) - 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 0$

Passaggio 5.3

Somma $2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Passaggio 5.4

Scomponi $3 y y'$ da $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3}) - 6 y y'$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $3 y y'$ da $- 9 y^{2} y' \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 6 y y' = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Passaggio 5.4.2

Scomponi $3 y y'$ da $- 6 y y'$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2 = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Passaggio 5.4.3

Scomponi $3 y y'$ da $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) + 3 y y' \cdot - 2$ .

$3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$

Passaggio 5.5

Dividi per $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ ciascun termine in $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)$ ciascun termine in $3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2) = 2 \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Passaggio 5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}{- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2} = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) - 2)}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.5.3.1

Scomponi $- 1$ da $- 3 y \sin (2 x + 3 y^{3})$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 2)}$

Passaggio 5.5.3.2

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2))}$

Passaggio 5.5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3})) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Passaggio 5.5.3.4

Riscrivi i negativi.

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Passaggio 5.5.3.4.1

Riscrivi $- (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ come $- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)$ .

$y' = \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (- 1 (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2))}$

Passaggio 5.5.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Passaggio 5.5.3.4.3

Riordina i fattori in $- \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{(3 y) (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$ .

$y' = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 \sin (2 x + 3 y^{3})}{3 y (3 y \sin (2 x + 3 y^{3}) + 2)}$