Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos (x) \sqrt{1 + \sin (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 + \sin (x)$ . Allora $d u = \cos (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 + \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{lower} = 1 + \sin (0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$u_{lower} = 1 + 0$

Passaggio 1.3.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{lower} = 1$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 + \sin (x)$ .

$u_{upper} = 1 + \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{1}^{2} \sqrt{u} d u$

Passaggio 2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{2} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{2}$

Passaggio 4

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 4.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2

Semplifica.

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Passaggio 4.2.1

$\frac{2}{3}$ e $2^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.2.2.1

Moltiplica $2$ per $2^{\frac{3}{2}}$ .

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Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2^{1 + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{2 + 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.2.4

Somma $2$ e $3$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 4.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Passaggio 4.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2^{\frac{5}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Passaggio 4.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2^{\frac{5}{2}} - 2}{3}$

Forma decimale:

$1.21895141 \dots$