Calcolo Esempi

$\sqrt{2 x - x^{2}}$

Passaggio 1

Scrivi $\sqrt{2 x - x^{2}}$ come funzione.

$f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sqrt{2 x - x^{2}} d x$

Passaggio 4

Completa il quadrato.

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Passaggio 4.1

Riordina $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Passaggio 4.2

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 4.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 4.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 4.4.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 4.4.2.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Passaggio 4.4.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 4.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 4.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 4.5.2.1.3

Dividi $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Passaggio 4.5.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Passaggio 4.5.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$e = 1$

Passaggio 4.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1} d x$

Passaggio 5

Sia $u_{1} = x - 1$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u_{1} = x - 1$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sqrt{- {u_{1}}^{2} + 1} d u_{1}$

Passaggio 6

Sia $u_{1} = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d u_{1} = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$\int \sqrt{- \sin^{2} (t) + 1} \cos (t) d t$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

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Passaggio 7.1

Semplifica $\sqrt{- \sin^{2} (t) + 1}$ .

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Passaggio 7.1.1

Riordina $- \sin^{2} (t)$ e $1$ .

$\int \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 7.1.2

Applica l'identità pitagorica.

$\int \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Passaggio 7.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\int \cos (t) \cos (t) d t$

Passaggio 7.2

Semplifica.

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Passaggio 7.2.1

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Passaggio 7.2.2

Eleva $\cos (t)$ alla potenza di $1$ .

$\int \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Passaggio 7.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Passaggio 7.2.4

Somma $1$ e $1$ .

$\int \cos^{2} (t) d t$

Passaggio 8

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\cos^{2} (t)$ come $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Passaggio 9

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

Passaggio 12

Sia $u_{2} = 2 t$ . Allora $d u_{2} = 2 d t$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d t$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 12.1

Sia $u_{2} = 2 t$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Passaggio 12.1.1

Differenzia $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Passaggio 12.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $2 t$ rispetto a $t$ è $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 12.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 12.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 12.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Passaggio 13

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Passaggio 14

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 15

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Passaggio 16

Semplifica.

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 t$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 17.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

Passaggio 17.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (u_{1}))) + C$

Passaggio 17.5

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x - 1$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \sin (2 \arcsin (x - 1))) + C$

Passaggio 18

Semplifica.

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Passaggio 18.1

$\frac{1}{2}$ e $\sin (2 \arcsin (x - 1))$ .

$\frac{1}{2} (\arcsin (x - 1) + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}) + C$

Passaggio 18.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Passaggio 18.3

$\frac{1}{2}$ e $\arcsin (x - 1)$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2} + C$

Passaggio 18.4

Moltiplica $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

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Passaggio 18.4.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2}$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{2 \cdot 2} + C$

Passaggio 18.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\arcsin (x - 1)}{2} + \frac{\sin (2 \arcsin (x - 1))}{4} + C$

Passaggio 19

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$

Passaggio 20

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sqrt{2 x - x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} \arcsin (x - 1) + \frac{1}{4} \sin (2 \arcsin (x - 1)) + C$