Calcolo Esempi

$\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)} d x$

Passaggio 4

Scrivi la frazione usando la scomposizione della frazione parziale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Passaggio 4.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(1 + x) (1 - 2 x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 + x) (1 - 2 x)}{(1 + x) (1 - 2 x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.5

Elimina il fattore comune di $1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1 (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.6

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - 2 x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.6.1.2

Dividi $(A) (1 - 2 x)$ per $1$ .

$1 = (A) (1 - 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A \cdot 1 + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.6.3

Moltiplica $A$ per $1$ .

$1 = A + A (- 2 x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.6.4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.6.5

Elimina il fattore comune di $1 - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.6.5.1

Elimina il fattore comune.

$1 = A - 2 A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - 2 x)}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.1.6.5.2

Dividi $(B) (1 + x)$ per $1$ .

$1 = A - 2 A x + (B) (1 + x)$

Passaggio 4.1.6.6

Applica la proprietà distributiva.

$1 = A - 2 A x + B \cdot 1 + B x$

Passaggio 4.1.6.7

Moltiplica $B$ per $1$ .

$1 = A - 2 A x + B + B x$

Passaggio 4.1.7

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Sposta $A$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Passaggio 4.1.7.2

Riordina $B$ e $x$ .

$1 = A - 2 x A + B + B x$

Passaggio 4.1.7.3

Sposta $B$ .

$1 = A - 2 x A + B x + B$

Passaggio 4.1.7.4

Sposta $A$ .

$1 = - 2 x A + B x + A + B$

Passaggio 4.2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = - 2 A + B$

Passaggio 4.2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 4.2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 2 A + B$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Risolvi per $B$ in $0 = - 2 A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1.1

Riscrivi l'equazione come $- 2 A + B = 0$ .

$- 2 A + B = 0$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.1.2

Somma $2 A$ a entrambi i lati dell'equazione.

$B = 2 A$

$1 = A + B$

$B = 2 A$

$1 = A + B$

Passaggio 4.3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $2 A$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $1 = A + B$ con $2 A$ .

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Passaggio 4.3.2.2

Semplifica $1 = A + 2 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1.1

Rimuovi le parentesi.

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

$1 = A + 2 A$

$B = 2 A$

Passaggio 4.3.2.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.2.1

Somma $A$ e $2 A$ .

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

$1 = 3 A$

$B = 2 A$

Passaggio 4.3.3

Risolvi per $A$ in $1 = 3 A$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Riscrivi l'equazione come $3 A = 1$ .

$3 A = 1$

$B = 2 A$

Passaggio 4.3.3.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 A = 1$ .

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Passaggio 4.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 A}{3} = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Passaggio 4.3.3.2.2.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

$A = \frac{1}{3}$

$B = 2 A$

Passaggio 4.3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $\frac{1}{3}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $B = 2 A$ con $\frac{1}{3}$ .

$B = 2 (\frac{1}{3})$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.2.1

$2$ e $\frac{1}{3}$ .

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

$B = \frac{2}{3}$

$A = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$B = \frac{2}{3}, A = \frac{1}{3}$

Passaggio 4.4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - 2 x}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{1}{3}}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{\frac{2}{3}}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{1 - 2 x}$

Passaggio 4.5.4

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{1 - 2 x}$ .

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} + \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{1}{3 (1 + x)} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Passaggio 7

Sia $u_{1} = 1 + x$ . Allora $d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sia $u_{1} = 1 + x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 7.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 7.1.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 7.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Passaggio 8

L'integrale di $\frac{1}{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{2}{3 (1 - 2 x)} d x$

Passaggio 9

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{1 - 2 x} d x$

Passaggio 10

Sia $u_{2} = 1 - 2 x$ . Allora $d u_{2} = - 2 d x$ , quindi $- \frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Sia $u_{2} = 1 - 2 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.1

Differenzia $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Passaggio 10.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 10.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Passaggio 10.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 10.1.3.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Passaggio 10.1.3.3

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$0 - 2$

Passaggio 10.1.4

Sottrai $2$ da $0$ .

$- 2$

Passaggio 10.2

Riscrivi il problema utilizzando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{- 2} d u_{2}$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int \frac{1}{u_{2}} (- \frac{1}{2}) d u_{2}$

Passaggio 11.2

Moltiplica $\frac{1}{u_{2}}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Passaggio 11.3

Sposta $2$ alla sinistra di $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} \int - \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 13

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) + \frac{2}{3} (- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Passaggio 14

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{3 \cdot 2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 (1)}{6} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.3.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 15

L'integrale di $\frac{1}{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C) - \frac{1}{3} (\ln (| u_{2} |) + C)$

Passaggio 16

Semplifica.

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 17

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| u_{2} |) + C$

Passaggio 17.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - 2 x$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$

Passaggio 18

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{(1 + x) (1 - 2 x)}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{3} \ln (| 1 - 2 x |) + C$