Calcolo Esempi

$y = x \ln (x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x \ln (x))$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = x$ e $g (y) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d y} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \ln (y)$ e $g (y) = x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x$ .

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x$ .

$x (\frac{1}{x} \frac{d}{d y} [x]) + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3

Semplifica i termini.

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Passaggio 3.3.1

$\frac{1}{x}$ e $x$ .

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $\frac{d}{d y} [x]$ per $1$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.4

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' + \ln (x) \frac{d}{d y} [x]$

Passaggio 3.5

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$x' + \ln (x) x'$

Passaggio 3.6

Riordina i termini.

$\ln (x) x' + x'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = \ln (x) x' + x'$

Passaggio 5

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $\ln (x) x' + x' = 1$ .

$\ln (x) x' + x' = 1$

Passaggio 5.2

Riordina i fattori in $\ln (x) x' + x'$ .

$x' \ln (x) + x' = 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $x'$ da $x' \ln (x) + x'$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $x'$ da $x' \ln (x)$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Passaggio 5.3.2

Eleva $x'$ alla potenza di $1$ .

$x' (\ln (x)) + x' = 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $x'$ da ${x'}^{1}$ .

$x' (\ln (x)) + x' \cdot 1 = 1$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $x'$ da $x' (\ln (x)) + x' \cdot 1$ .

$x' (\ln (x) + 1) = 1$

Passaggio 5.4

Dividi per $\ln (x) + 1$ ciascun termine in $x' (\ln (x) + 1) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.4.1

Dividi per $\ln (x) + 1$ ciascun termine in $x' (\ln (x) + 1) = 1$ .

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (x) + 1$ .

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Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x' (\ln (x) + 1)}{\ln (x) + 1} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x'$ per $1$ .

$x' = \frac{1}{\ln (x) + 1}$

Passaggio 6

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{1}{\ln (x) + 1}$