Calcolo Esempi

$\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ come funzione.

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2} d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 5

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 6.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 \int x^{- 2} d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 8

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - 3 x^{2} d x$

Passaggio 10

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 3$ fuori dall'integrale.

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 \int x^{2} d x$

Passaggio 11

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (- x^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Passaggio 12

Semplifica.

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Passaggio 12.1

Semplifica.

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Passaggio 12.2

Semplifica.

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Passaggio 12.2.1

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.2.2

$- 3$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C$

Passaggio 12.2.3

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

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Passaggio 12.2.3.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{3}$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C$

Passaggio 12.2.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 12.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C$

Passaggio 12.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C$

Passaggio 12.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{4}{x} + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C$

Passaggio 12.2.3.2.4

Dividi $- x^{3}$ per $1$ .

$- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{4}{x^{2}} + 2 x - 3 x^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{4}{x} + x^{2} - x^{3} + C$