Calcolo Esempi

$y = \sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π)$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin (4 x) - 8 x^{2} + 9 x + π$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (4 x)] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 x$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.2.1.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 x$ .

$\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.2.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\cos (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\cos (4 x) (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\cos (4 x) \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.2.5

Sposta $4$ alla sinistra di $\cos (4 x)$ .

$4 \cos (4 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \cos (4 x) - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$4 \cos (4 x) - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $2$ per $- 8$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9 x$ rispetto a $x$ è $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $9$ per $1$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + \frac{d}{d x} [π]$

Passaggio 3.5

Poiché $π$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $π$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9 + 0$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Somma $4 \cos (4 x) - 16 x + 9$ e $0$ .

$4 \cos (4 x) - 16 x + 9$

Passaggio 3.6.2

Riordina i termini.

$- 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 16 x + 9 + 4 \cos (4 x)$