Calcolo Esempi

$y = x + \frac{1}{4 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Passaggio 1.2.4

$\frac{1}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

Passaggio 1.2.5

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.3

Riordina i termini.

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{4 x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{4 x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- \frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{4 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.5.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.9

Sottrai $4$ da $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4} \cdot (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.10

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{4}) \cdot x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.11

$2$ e $\frac{1}{4}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{4} x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.12

$\frac{2}{4}$ e $x^{- 3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 x^{- 3}}{4} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.13

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.14

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{4 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.14.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.14.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{2 (1)}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.14.2.2

Elimina il fattore comune.

$f'' (x) = \frac{2 \cdot 1}{2 (2 x^{3})} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.2.14.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}} + 0$

Passaggio 2.3.2

Somma $\frac{1}{2 x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{2 x^{3}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Passaggio 4.1.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Passaggio 4.1.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$1 + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Passaggio 4.1.2.4

$\frac{1}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$1 - \frac{x^{- 2}}{4}$

Passaggio 4.1.2.5

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{4 x^{2}}$

Passaggio 4.1.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} + 1 = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$

Passaggio 5.3

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$4 x^{2}, 1$

Passaggio 5.3.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$4 x^{2}$

Passaggio 5.4

Moltiplica per $4 x^{2}$ ciascun termine in $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{1}{4 x^{2}} = - 1$ per $4 x^{2}$ .

$- \frac{1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $4 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{4 x^{2}}$ nel numeratore.

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

Passaggio 5.4.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{4 x^{2}} (4 x^{2}) = - (4 x^{2})$

Passaggio 5.4.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 = - (4 x^{2})$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 1 = - 4 x^{2}$

Passaggio 5.5

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Riscrivi l'equazione come $- 4 x^{2} = - 1$ .

$- 4 x^{2} = - 1$

Passaggio 5.5.2

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 x^{2} = - 1$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.5.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5.4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.5.4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.5.4.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.4.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.5.4.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta il denominatore in $\frac{1}{4 x^{2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$4 x^{2} = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = 0$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.1.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Passaggio 6.2.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.3.1

Dividi $0$ per $4$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 6.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 6.2.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 6.2.3.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1}{2 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Riscrivi $\frac{1}{2}$ come $2^{- 1}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

Passaggio 9.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{2 {({(2^{1})}^{- 1})}^{3}}$

Passaggio 9.1.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 {(2^{1 \cdot - 1})}^{3}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{2 {(2^{- 1})}^{3}}$

Passaggio 9.1.5

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{- 1})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 1 \cdot 3}}$

Passaggio 9.1.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- 3}}$

Passaggio 9.1.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{1 - 3}}$

Passaggio 9.1.7

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{2^{- 2}}$

Passaggio 9.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}}}$

Passaggio 9.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 9.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$1 \cdot 4$

Passaggio 9.4

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 10

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 11.2.1.2

Dividi $4$ per $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1 + 1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.2

Dividi $2$ per $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = 1$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $1$ .

$y = 1$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$\frac{1}{2 {(- \frac{1}{2})}^{3}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Passaggio 13.1.2

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.1

Riscrivi $\frac{1}{2}$ come $2^{- 1}$ .

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2.2

Eleva $2$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{({(2^{1})}^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2.3

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{{(2^{1 \cdot - 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{{(2^{- 1})}^{3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2.5

Moltiplica gli esponenti in ${(2^{- 1})}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.2.5.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2^{- 1 \cdot 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{2^{- 3} \cdot 2 {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2.6

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2^{- 3 + 1} {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.2.7

Somma $- 3$ e $1$ .

$\frac{1}{2^{- 2} {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2^{2}} {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4} {(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.5

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{\frac{1}{4} \cdot - 1}$

Passaggio 13.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

$\frac{1}{4}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{\frac{- 1}{4}}$

Passaggio 13.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 13.2.3

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.3.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 13.2.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{\frac{1}{4}}$

Passaggio 13.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- (1 \cdot 4)$

Passaggio 13.4

Moltiplica $- (1 \cdot 4)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Moltiplica $4$ per $1$ .

$- 1 \cdot 4$

Passaggio 13.4.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$- 4$

Passaggio 14

$x = - \frac{1}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - \frac{1}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (- \frac{1}{2}) = (- \frac{1}{2}) + \frac{1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Elimina il fattore comune di $1$ e $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1.1

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot - 1}{4 (- \frac{1}{2})}$

Passaggio 15.2.1.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{4 (\frac{1}{2})}$

Passaggio 15.2.1.2

$4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{\frac{4}{2}}$

Passaggio 15.2.1.3

Dividi $4$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}$

Passaggio 15.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 1 - 1}{2}$

Passaggio 15.2.2.2

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 15.2.2.2.1

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$f (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{2}$

Passaggio 15.2.2.2.2

Dividi $- 2$ per $2$ .

$f (- \frac{1}{2}) = - 1$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 1$ .

$y = - 1$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x + \frac{1}{4 x}$ .

$(\frac{1}{2}, 1)$ è un minimo locale

$(- \frac{1}{2}, - 1)$ è un massimo locale

Passaggio 17