Calcolo Esempi

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{3})$

Passaggio 1

Sposta il termine $- 11$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $r$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{3})$

Passaggio 2

$\frac{r}{3}$ e $\ln (\frac{r}{3})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{3})}{3}$

Passaggio 3

Sposta il termine $\frac{1}{3}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{3})$

Passaggio 4

Riscrivi $r \ln (\frac{r}{3})$ come $\frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}}$

Passaggio 5

Applica la regola di de l'Hôpital

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{3})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Passaggio 5.1.2

Mentre $r$ tende a $0$ da destra, $\ln (\frac{r}{3})$ diminuisce senza limite.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Passaggio 5.1.3

Poiché il numeratore è una costante e il denominatore tende a $0$ quando $r$ tende a $0$ da destra, la frazione $\frac{1}{r}$ tende a infinito.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 5.1.4

Infinito diviso per infinito è indefinito.

Indefinito

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Passaggio 5.2

Poiché $\frac{- \infty}{\infty}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{3})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{3})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ è $f' (g (r)) g' (r)$ dove $f (r) = \ln (r)$ e $g (r) = \frac{r}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{3}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{r}{3}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.4

Moltiplica $\frac{3}{r}$ per $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{3}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $r$ , la derivata di $\frac{r}{3}$ rispetto a $r$ è $\frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{r} \cdot \frac{1}{3} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.6

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{3}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{3}{3 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.9

Moltiplica $\frac{1}{r}$ per $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Passaggio 5.3.10

Riscrivi $\frac{1}{r}$ come $r^{- 1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Passaggio 5.3.11

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ è $n r^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Passaggio 5.3.12

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Passaggio 5.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Passaggio 5.5

$\frac{1}{r}$ e $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Passaggio 5.6

Elimina il fattore comune di $r^{2}$ e $r$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $r$ da $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Passaggio 5.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Eleva $r$ alla potenza di $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Passaggio 5.6.2.2

Scomponi $r$ da $r^{1}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Passaggio 5.6.2.3

Elimina il fattore comune.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Passaggio 5.6.2.4

Riscrivi l'espressione.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Passaggio 5.6.2.5

Dividi $r$ per $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Passaggio 6.1.2

Calcola il limite di $r$ inserendo $0$ per $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Passaggio 6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

$- 11$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Passaggio 6.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Passaggio 6.2.3.2

Moltiplica $0$ per $\frac{11}{3}$ .

$0$