Calcolo Esempi

$\int \frac{1 + \cos (x)}{x + \sin (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x + \sin (x)$ . Allora $d u = (1 + \cos (x)) d x$ , quindi $\frac{1}{1 + \cos (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x + \sin (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + \sin (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.1.3

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$1 + \cos (x)$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + \sin (x)$ .

$\ln (| x + \sin (x) |) + C$