Calcolo Esempi

$y = x \ln (x) - x$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \ln (x) - x)$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x \ln (x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.4

$x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.5.2

Riscrivi l'espressione.

$1 + \ln (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $\ln (x)$ per $1$ .

$1 + \ln (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$1 + \ln (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \ln (x) - 1 \cdot 1$

Passaggio 3.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$1 + \ln (x) - 1$

Passaggio 3.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 3.4.1

Sottrai $1$ da $1$ .

$0 + \ln (x)$

Passaggio 3.4.2

Somma $0$ e $\ln (x)$ .

$\ln (x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \ln (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \ln (x)$