Calcolo Esempi

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4}$

Passaggio 1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 2 \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.2

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 2} \cos (4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.3

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il coseno è continuo.

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.4

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 \cos (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.5

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - lim_{x \to 2} 2 x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.7

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.7.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{2 \cos (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.8

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Moltiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 2 \cdot 2) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.8.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{2 \cos (4 - 4) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.8.1.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{2 \cos (0) - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.8.1.3

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$\frac{2 \cdot 1 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.8.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.2.8.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 4}$

Passaggio 1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 1.3.1.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4}$

Passaggio 1.3.1.3

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.3.3

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 1.3.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Passaggio 1.3.3.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.3.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.3.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 2} \frac{2 \cos (4 - 2 x) - x}{x^{2} - 4} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 \cos (4 - 2 x) - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 \cos (4 - 2 x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 \cos (4 - 2 x)$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos (4 - 2 x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 - 2 x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $4 - 2 x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \frac{d}{d x} [4 - 2 x]) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 - 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.4

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.7

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) (0 - 2)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.8

Sottrai $2$ da $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (- \sin (4 - 2 x) \cdot - 2) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.9

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{2 (2 \sin (4 - 2 x)) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.3.10

Moltiplica $2$ per $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Passaggio 3.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 \sin (4 - 2 x) - 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.5

Riordina i termini.

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4]}$

Passaggio 3.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Passaggio 3.8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x + 0}$

Passaggio 3.9

Somma $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{2 x}$

Passaggio 4

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{x}$

Passaggio 5

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} - 1 + 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 6

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- lim_{x \to 2} 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 \cdot 1 + lim_{x \to 2} 4 \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 8

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 lim_{x \to 2} \sin (4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 9

Sposta il limite all'interno della funzione trigonometrica, poiché il seno è continuo.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 10

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 11

Calcola il limite di $4$ che è costante, mentre $x$ tende a $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - lim_{x \to 2} 2 x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 12

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 lim_{x \to 2} x)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 13

Calcola il limite inserendo $2$ per tutte le occorrenze di $x$ .

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Passaggio 13.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{lim_{x \to 2} x}$

Passaggio 13.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $2$ per $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 1 \cdot 2 \cdot 2)}{2}$

Passaggio 14

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1

Moltiplica $- 1 \cdot 2 \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 2 \cdot 2)}{2}$

Passaggio 14.1.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (4 - 4)}{2}$

Passaggio 14.1.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \sin (0)}{2}$

Passaggio 14.1.3

Il valore esatto di $\sin (0)$ è $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 4 \cdot 0}{2}$

Passaggio 14.1.4

Moltiplica $4$ per $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1 + 0}{2}$

Passaggio 14.1.5

Somma $- 1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- 1}{2}$

Passaggio 14.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 14.3

Moltiplica $\frac{1}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 14.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 2}$

Passaggio 14.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$- \frac{1}{4}$