Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} x \sqrt{x^{2} - 1} d x$

Passaggio 1

Sia $u = x^{2} - 1$ . Allora $d u = 2 x d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = x^{2} - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 x + 0$

Passaggio 1.1.5

Somma $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x^{2} - 1$ .

$u_{lower} = 1^{2} - 1$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$u_{lower} = 1 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x^{2} - 1$ .

$u_{upper} = 2^{2} - 1$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$u_{upper} = 4 - 1$

Passaggio 1.5.2

Sottrai $1$ da $4$ .

$u_{upper} = 3$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{3} \sqrt{u} \frac{1}{2} d u$

Passaggio 2

$\sqrt{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{\sqrt{u}}{2} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} \sqrt{u} d u$

Passaggio 4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u}$ come $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int_{0}^{3} u^{\frac{1}{2}} d u$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $u$ è $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{0}^{3}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ per $3$ e per $0$ .

$\frac{1}{2} ((\frac{2}{3} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2

Semplifica.

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Passaggio 6.2.1

$\frac{2}{3}$ e $3^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.2

Sposta $3^{1}$ al numeratore usando la regola dell'esponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{- 1} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3

Moltiplica $3^{\frac{3}{2}}$ per $3^{- 1}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.2.3.1

Sposta $3^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot (3^{- 1} \cdot 3^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{- 1 \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2}{2} + \frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 1 \cdot 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 6.2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{- 2 + 3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.3.6.2

Somma $- 2$ e $3$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.4

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}})$

Passaggio 6.2.5

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 6.2.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})})$

Passaggio 6.2.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0^{3})$

Passaggio 6.2.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 0)$

Passaggio 6.2.8

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0 (\frac{2}{3}))$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $0$ per $\frac{2}{3}$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} + 0)$

Passaggio 6.2.10

Somma $2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\frac{1}{2} (2 \cdot 3^{\frac{1}{2}})$

Passaggio 6.2.11

$2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} \cdot 3^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 6.2.12

$\frac{2}{2}$ e $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 6.2.13

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Passaggio 6.2.14

Dividi $3^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$3^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$3^{\frac{1}{2}}$

Forma decimale:

$1.73205080 \dots$

Passaggio 8