Calcolo Esempi

$2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3} = y$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}) = \frac{d}{d x} (y)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y^{2} + 3 - y^{3} + x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 y^{2}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $y$ .

$2 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $y$ .

$2 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 (2 y y') + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 y y' + \frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 y y' + 0 + \frac{d}{d x} [- y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 y y' + 0 - \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $y$ .

$4 y y' + 0 - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $y$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 y y' + 0 - (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.4.4

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 y y' + 0 - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Passaggio 2.6

Semplifica.

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Passaggio 2.6.1

Somma $4 y y'$ e $0$ .

$4 y y' - 3 y^{2} y' + 3 x^{2}$

Passaggio 2.6.2

Riordina i termini.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y'$

Passaggio 3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' = y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x^{2} + 4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = 0$

Passaggio 5.2

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 y y' - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3

Scomponi $y'$ da $4 y y' - 3 y^{2} y' - y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $y'$ da $4 y y'$ .

$y' (4 y) - 3 y^{2} y' - y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y^{2} y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) - y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $y'$ da $- y'$ .

$y' (4 y) + y' (- 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.4

Scomponi $y'$ da $y' (4 y) + y' (- 3 y^{2})$ .

$y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.3.5

Scomponi $y'$ da $y' (4 y - 3 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y - 3 y^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.4

Sia $u = y$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $y$ con $u$ .

$y' (4 u - 3 u^{2} - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.5.1

Riordina i termini.

$y' (- 3 u^{2} + 4 u - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5.2

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = - 3 \cdot - 1 = 3$ e la cui somma è $b = 4$ .

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Passaggio 5.5.2.1

Scomponi $4$ da $4 u$ .

$y' (- 3 u^{2} + 4 (u) - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5.2.2

Riscrivi $4$ come $1$ più $3$ .

$y' (- 3 u^{2} + (1 + 3) u - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$y' (- 3 u^{2} + 1 u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5.2.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$y' (- 3 u^{2} + u + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5.3

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.5.3.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$y' ((- 3 u^{2} + u) + 3 u - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5.3.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$y' (u (- 3 u + 1) - (- 3 u + 1)) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.5.4

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- 3 u + 1$ .

$y' ((- 3 u + 1) (u - 1)) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.6

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$y' ((- 3 y + 1) (y - 1)) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.6.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$

Passaggio 5.7

Dividi per $(- 3 y + 1) (y - 1)$ ciascun termine in $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.7.1

Dividi per $(- 3 y + 1) (y - 1)$ ciascun termine in $y' (- 3 y + 1) (y - 1) = - 3 x^{2}$ .

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.7.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3 y + 1$ .

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Passaggio 5.7.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 3 y + 1) (y - 1)}{(- 3 y + 1) (y - 1)} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.2.2

Elimina il fattore comune di $y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (y - 1)}{y - 1} = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.7.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- 3 y + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 y$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) + 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{(- (3 y) - 1 (- 1)) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 y) - 1 (- 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- (3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3.5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.7.3.5.1

Riscrivi $- (3 y - 1)$ come $- 1 (3 y - 1)$ .

$y' = - \frac{3 x^{2}}{- 1 (3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3.5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - - \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3.5.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y' = 1 \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 5.7.3.5.4

Moltiplica $\frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$ per $1$ .

$y' = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2}}{(3 y - 1) (y - 1)}$