Calcolo Esempi

$y = {(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3})$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x^{3} + 1)}^{5} \cos (4 x^{3}))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = {(x^{3} + 1)}^{5}$ e $g (x) = \cos (4 x^{3})$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [\cos (4 x^{3})] + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $4 x^{3}$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\cos (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $- \sin (u_{1})$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $4 x^{3}$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [4 x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- \sin (4 x^{3}) (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 4 \sin (4 x^{3}) (3 x^{2})) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.3.4

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) \frac{d}{d x} [{(x^{3} + 1)}^{5}]$

Passaggio 3.4

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{3} + 1$ .

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Passaggio 3.4.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x^{3} + 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Passaggio 3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {u_{2}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Passaggio 3.4.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x^{3} + 1$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{3} + 1])$

Passaggio 3.5

Differenzia.

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Passaggio 3.5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.5.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2} + 0))$

Passaggio 3.5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.5.4.1

Somma $3 x^{2}$ e $0$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (5 {(x^{3} + 1)}^{4} (3 x^{2}))$

Passaggio 3.5.4.2

Moltiplica $3$ per $5$ .

${(x^{3} + 1)}^{5} (- 12 \sin (4 x^{3}) x^{2}) + \cos (4 x^{3}) (15 {(x^{3} + 1)}^{4} x^{2})$

Passaggio 3.5.4.3

Riordina i termini.

$- 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 12 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{5} \sin (4 x^{3}) + 15 x^{2} {(x^{3} + 1)}^{4} \cos (4 x^{3})$