Calcolo Esempi

$\int_{0}^{π} \sin (x) {(1 - \cos (x))}^{2} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - \cos (x)$ . Allora $d u = \sin (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (π)$

Passaggio 1.5

Semplifica.

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Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.5.1.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il coseno è negativo nel secondo quadrante.

$u_{upper} = 1 - - \cos (0)$

Passaggio 1.5.1.2

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{upper} = 1 - (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 1.5.1.3

Moltiplica $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 1.5.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{upper} = 1 - - 1$

Passaggio 1.5.1.3.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$u_{upper} = 1 + 1$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $1$ .

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 2$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{2} u^{2} d u$

Passaggio 2

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{3}]_{0}^{2}$

Passaggio 3

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 3.1

Calcola $\frac{1}{3} u^{3}$ per $2$ e per $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica.

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Passaggio 3.2.1

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Passaggio 3.2.2

$\frac{1}{3}$ e $8$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0^{3}$

Passaggio 3.2.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot 0$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$\frac{8}{3} + 0 (\frac{1}{3})$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 0$

Passaggio 3.2.6

Somma $\frac{8}{3}$ e $0$ .

$\frac{8}{3}$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{8}{3}$

Forma decimale:

$2.\overline{6}$

Forma numero misto:

$2 \frac{2}{3}$