Calcolo Esempi

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin (x)}{1 - \cos (x)} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 1 - \cos (x)$ . Allora $d u = \sin (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 1 - \cos (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia.

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Passaggio 1.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - \cos (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.2.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Passaggio 1.1.3.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$0 - - \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$0 + 1 \sin (x)$

Passaggio 1.1.3.4

Moltiplica $\sin (x)$ per $1$ .

$0 + \sin (x)$

Passaggio 1.1.4

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$\sin (x)$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{lower} = 1 - \cos (0)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Il valore esatto di $\cos (0)$ è $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$u_{lower} = 1 - 1$

Passaggio 1.3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = 1 - \cos (x)$ .

$u_{upper} = 1 - \cos (\frac{π}{2})$

Passaggio 1.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{2})$ è $0$ .

$u_{upper} = 1 - 0$

Passaggio 1.5.1.2

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$u_{upper} = 1 + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $1$ e $0$ .

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 1$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{1} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 2

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |)]_{0}^{1}$

Passaggio 3

Calcola $\ln (| u |)$ per $1$ e per $0$ .

$\ln (| 1 |) - \ln (| 0 |)$

Passaggio 4

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{| 0 |})$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $0$ è $0$ .

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Passaggio 5.2

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\ln (\frac{| 1 |}{0})$

Passaggio 6

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito