Calcolo Esempi

$\int \frac{\sqrt{x} - x^{- 3}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.2

Per scrivere $\sqrt{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 1.3

Moltiplica $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}} \cdot \frac{1}{x^{2}}$ .

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Passaggio 1.3.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3}}$ per $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3} x^{2}} d x$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x^{3}$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{3 + 2}} d x$

Passaggio 1.3.2.2

Somma $3$ e $2$ .

$\int \frac{\sqrt{x} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} x^{3} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $x^{\frac{1}{2}}$ per $x^{3}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2.2.2

Per scrivere $3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2.2.3

$3$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int \frac{x^{\frac{1}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int \frac{x^{\frac{1 + 3 \cdot 2}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2.2.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.2.5.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\int \frac{x^{\frac{1 + 6}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 2.2.5.2

Somma $1$ e $6$ .

$\int \frac{x^{\frac{7}{2}} - 1}{x^{5}} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{5}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) {(x^{5})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{5 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$\int (x^{\frac{7}{2}} - 1) x^{- 5} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{\frac{7}{2}} x^{- 5} - 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{\frac{7}{2} - 5} - 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 4.3

Per scrivere $- 5$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 4.4

$- 5$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int x^{\frac{7}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 4.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\int x^{\frac{7 - 5 \cdot 2}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 4.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.1

Moltiplica $- 5$ per $2$ .

$\int x^{\frac{7 - 10}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 4.6.2

Sottrai $10$ da $7$ .

$\int x^{\frac{- 3}{2}} - 1 x^{- 5} d x$

Passaggio 4.7

Riordina $x^{\frac{- 3}{2}}$ e $- 1 x^{- 5}$ .

$\int - 1 x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $- 1 x^{- 5}$ come $- x^{- 5}$ .

$\int - x^{- 5} + x^{\frac{- 3}{2}} d x$

Passaggio 5.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - x^{- 5} + x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 6

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int - x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int x^{- 5} d x + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$- (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

$x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$- (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 9.2

Sposta $x^{- 4}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int x^{- \frac{3}{2}} d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$\frac{1}{4 x^{4}} - 2 x^{- \frac{1}{2}} + C$