Calcolo Esempi

$x - \ln (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia.

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Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

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Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \ln (x)$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 1.2.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{1}{x}$

Passaggio 1.3

Riordina i termini.

$f' (x) = - \frac{1}{x} + 1$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{x} + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Passaggio 2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.6

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $\frac{1}{x}$ per $0$ .

$x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.2.8

Somma $x^{- 2}$ e $0$ .

$x^{- 2} + \frac{d}{d x} [1]$

Passaggio 2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$x^{- 2} + 0$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $\frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{1}{x^{2}}$