Calcolo Esempi

$f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + \frac{d}{d x} (2)$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6 + 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $- 12 x^{2} + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = - 12 x^{2} + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 4 x^{3} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 \cdot 1$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} + 6 x + 2$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 4 x^{3} + 6 x + 2 = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 2$ da $- 4 x^{3} + 6 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 4 x^{3}$ .

$- 2 (2 x^{3}) + 6 x + 2 = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 2$ da $6 x$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) + 2 = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 2$ da $2$ .

$- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 2$ da $- 2 (2 x^{3}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 2$ da $- 2 (2 x^{3} - 3 x) - 2 (- 1)$ .

$- 2 (2 x^{3} - 3 x - 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $2 x^{3} - 3 x - 1$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 5.2.2.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 0.5$

Passaggio 5.2.2.1.3

Sostituisci $- 1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.3.1

Sostituisci $- 1$ nel polinomio.

$2 {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$2 \cdot - 1 - 3 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 - 3 \cdot - 1 - 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.4

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$- 2 + 3 - 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.5

Somma $- 2$ e $3$ .

$1 - 1$

Passaggio 5.2.2.1.3.6

Sottrai $1$ da $1$ .

$0$

Passaggio 5.2.2.1.4

Poiché $- 1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{2 x^{3} - 3 x - 1}{x + 1}$

Passaggio 5.2.2.1.5

Dividi $2 x^{3} - 3 x - 1$ per $x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$2 x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			+	$2 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 5.2.2.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 5.2.2.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 5.2.2.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 5.2.2.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 2 x$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 5.2.2.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$

Passaggio 5.2.2.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							-	$x$	-	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x - 1$

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$

Passaggio 5.2.2.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$1$
$x$	+	$1$		$2 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	-	$1$
			-	$2 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$3 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$2 x$
							-	$x$	-	$1$
							+	$x$	+	$1$
										$0$

Passaggio 5.2.2.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$2 x^{2} - 2 x - 1$

Passaggio 5.2.2.1.6

Scrivi $2 x^{3} - 3 x - 1$ come insieme di fattori.

$- 2 ((x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 5.4.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.5

Imposta $2 x^{2} - 2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $2 x^{2} - 2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $2 x^{2} - 2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Usa la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5.5.2.2

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 5.5.2.3.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.4.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 5.5.2.4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.5.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.5.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.5.2.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 5.5.2.5.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.5.2.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 (x + 1) (2 x^{2} - 2 x - 1) = 0$ vera.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = - 1, \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(- 1)}^{2} + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \cdot 1 + 6$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 12$ per $1$ .

$- 12 + 6$

Passaggio 9.2

Somma $- 12$ e $6$ .

$- 6$

Passaggio 10

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = (- 1) {(- 1)}^{4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 11.2.1.1.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = {(- 1)}^{1 + 4} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 11.2.1.1.2

Somma $1$ e $4$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 11.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} + 2 (- 1)$

Passaggio 11.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 \cdot 1 + 2 (- 1)$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 2 (- 1)$

Passaggio 11.2.1.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 - 2$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (- 1) = 2 - 2$

Passaggio 11.2.2.2

Sottrai $2$ da $2$ .

$f (- 1) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Passaggio 13.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Passaggio 13.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Passaggio 13.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Passaggio 13.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 {(1 + \sqrt{3})}^{2} + 6$

Passaggio 13.1.4

Riscrivi ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 13.1.5

Espandi $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 13.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 13.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.6.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 3 (1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.6.1.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.6.1.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.6.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}) + 6$

Passaggio 13.1.6.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}) + 6$

Passaggio 13.1.6.1.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}) + 6$

Passaggio 13.1.6.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- 3 (1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3) + 6$

Passaggio 13.1.6.2

Somma $1$ e $3$ .

$- 3 (4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.6.3

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$- 3 (4 + 2 \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \cdot 4 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.8

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$- 12 - 3 (2 \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 13.1.9

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$- 12 - 6 \sqrt{3} + 6$

Passaggio 13.2

Somma $- 12$ e $6$ .

$- 6 - 6 \sqrt{3}$

Passaggio 14

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 + \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.3

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.4

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.5

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.6

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.6.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.7

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {\sqrt{3}}^{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.8

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {\sqrt{3}}^{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.9

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{3}} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.10

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{27} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.11

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.11.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{9 (3)} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.11.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \sqrt{3^{2} \cdot 3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.12

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (3 \sqrt{3}) + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.13

Moltiplica $3$ per $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.14.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.14.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.14.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.14.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.4.15

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \sqrt{3} + 18 + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.5

Somma $1$ e $18$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.6

Somma $19$ e $9$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 4 \sqrt{3} + 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.7

Somma $4 \sqrt{3}$ e $12 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.8

Elimina il fattore comune di $28 + 16 \sqrt{3}$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.8.2

Scomponi $4$ da $16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.8.3

Scomponi $4$ da $4 (7) + 4 (4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.8.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.8.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.8.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 + 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 + \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 + \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.11

Riscrivi ${(1 + \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.12

Espandi $(1 + \sqrt{3}) (1 + \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 + \sqrt{3}) + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} (1 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.13.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.1.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.1.3

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.1.4

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3 \cdot 3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.1.5

Moltiplica $3$ per $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{9}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.1.6

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + \sqrt{3^{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.1.7

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + \sqrt{3} + \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + \sqrt{3} + \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.13.3

Somma $\sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.14

Elimina il fattore comune di $4 + 2 \sqrt{3}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.14.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.14.3

Scomponi $2$ da $2 \cdot 2 + 2 (\sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.14.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.14.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 (2)}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.14.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 \cdot (2 + \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.14.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 + \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.15

$3$ e $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.16

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.16.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 + \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 15.2.1.16.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 (2 + \sqrt{3})}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 + 4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (4 \sqrt{3}) + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 3 (2 + \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + (6 + 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.6

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.7

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.8

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - 4 \sqrt{3} + 12 + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.9

Somma $- 7$ e $12$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 4 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.5.10

Somma $- 4 \sqrt{3}$ e $6 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 2 \sqrt{3} + 4}{4} + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.6.3

Somma $5$ e $4$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3}$

Passaggio 15.2.7

Per scrivere $\sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 15.2.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.8.1

$\sqrt{3}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Passaggio 15.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Passaggio 15.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.9.1

Sposta $4$ alla sinistra di $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 2 \sqrt{3} + 4 \cdot \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 15.2.9.2

Somma $2 \sqrt{3}$ e $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 + \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 15.2.10

La risposta finale è $\frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 12 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 6$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}} + 6$

Passaggio 17.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$- 12 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Passaggio 17.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.3.1

Scomponi $4$ da $- 12$ .

$4 (- 3) \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Passaggio 17.1.3.2

Elimina il fattore comune.

$4 \cdot - 3 \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4} + 6$

Passaggio 17.1.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 {(1 - \sqrt{3})}^{2} + 6$

Passaggio 17.1.4

Riscrivi ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$- 3 ((1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 17.1.5

Espandi $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 17.1.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 17.1.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 (1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 17.1.6

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$- 3 (1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.2

Moltiplica $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.6.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{1}) + 6$

Passaggio 17.1.6.1.5.5

Calcola l'esponente.

$- 3 (1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3) + 6$

Passaggio 17.1.6.2

Somma $1$ e $3$ .

$- 3 (4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 17.1.6.3

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$- 3 (4 - 2 \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 17.1.7

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 \cdot 4 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 17.1.8

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$- 12 - 3 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Passaggio 17.1.9

Moltiplica $- 2$ per $- 3$ .

$- 12 + 6 \sqrt{3} + 6$

Passaggio 17.2

Somma $- 12$ e $6$ .

$- 6 + 6 \sqrt{3}$

Passaggio 18

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{2^{4}} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{{(1 - \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.3

Usa il teorema binomiale.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1^{4} + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1^{3} (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 \cdot (1 (- \sqrt{3})) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.3

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 + 4 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1^{2} {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.6

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(- \sqrt{3})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.7

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.8

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 (1 {\sqrt{3}}^{2}) + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.9

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{2}$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {\sqrt{3}}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.10

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.10.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.10.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.10.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.10.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.10.4.1

Elimina il fattore comune.

Passaggio 19.2.1.4.10.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.10.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 3 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.11

Moltiplica $6$ per $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 \cdot (1 {(- \sqrt{3})}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.12

Moltiplica $4$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 {(- \sqrt{3})}^{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.13

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.14

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- {\sqrt{3}}^{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.15

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{3}$ come $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{3}}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.16

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{27}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.17

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.17.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{9 (3)}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.17.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- \sqrt{3^{2} \cdot 3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.18

Estrai i termini dal radicale.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- (3 \sqrt{3})) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.19

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 + 4 (- 3 \sqrt{3}) + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.20

Moltiplica $- 3$ per $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- \sqrt{3})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.21

Applica la regola del prodotto a $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.22

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 1 {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.23

Moltiplica ${\sqrt{3}}^{4}$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{4}$ come $3^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.24.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 4}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24.3

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{4}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24.4

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.24.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.4.24.4.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{1}}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.24.4.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 3^{2}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.4.25

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{1 - 4 \sqrt{3} + 18 - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.5

Somma $1$ e $18$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{19 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3} + 9}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.6

Somma $19$ e $9$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 4 \sqrt{3} - 12 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.7

Sottrai $12 \sqrt{3}$ da $- 4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{28 - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.8

Elimina il fattore comune di $28 - 16 \sqrt{3}$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.8.1

Scomponi $4$ da $28$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) - 16 \sqrt{3}}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.8.2

Scomponi $4$ da $- 16 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.8.3

Scomponi $4$ da $4 (7) + 4 (- 4 \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{16} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.8.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.8.4.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.8.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{4 (7 - 4 \sqrt{3})}{4 \cdot 4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.8.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 {(\frac{1 - \sqrt{3}}{2})}^{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.9

Applica la regola del prodotto a $\frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{2^{2}}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.10

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{{(1 - \sqrt{3})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.11

Riscrivi ${(1 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.12

Espandi $(1 - \sqrt{3}) (1 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 (1 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (1 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.13.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 + 1 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.2

Moltiplica $- \sqrt{3}$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 1 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.13.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.4.5

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.5.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.13.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.1.5.5

Calcola l'esponente.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{1 - \sqrt{3} - \sqrt{3} + 3}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - \sqrt{3} - \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.13.3

Sottrai $\sqrt{3}$ da $- \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{4 - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.14

Elimina il fattore comune di $4 - 2 \sqrt{3}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.14.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) - 2 \sqrt{3}}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.14.2

Scomponi $2$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2) + 2 (- \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.14.3

Scomponi $2$ da $2 (2) + 2 (- \sqrt{3})$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{4}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.14.4

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.14.4.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.14.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 (2 - \sqrt{3})}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.14.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + 3 (\frac{2 - \sqrt{3}}{2}) + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.15

$3$ e $\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.16

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.16.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 2 (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 19.2.1.16.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.2

Per scrivere $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2} \cdot \frac{2}{2} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 (2 - \sqrt{3})}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{2 \cdot 2} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = - \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{4} + \frac{3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- (7 - 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 1 \cdot 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.2

Moltiplica $- 1$ per $7$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 - (- 4 \sqrt{3}) + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.3

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 3 (2 - \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.4

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (3 \cdot 2 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 + 3 (- \sqrt{3})) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.6

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + (6 - 3 \sqrt{3}) \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.7

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 6 \cdot 2 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.8

Moltiplica $6$ per $2$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 3 \sqrt{3} \cdot 2}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.9

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{- 7 + 4 \sqrt{3} + 12 - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.10

Somma $- 7$ e $12$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 + 4 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.5.11

Sottrai $6 \sqrt{3}$ da $4 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + 1 - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.6.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{4}{4} - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.6.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{5 - 2 \sqrt{3} + 4}{4} - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.6.3

Somma $5$ e $4$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3}$

Passaggio 19.2.7

Per scrivere $- \sqrt{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} - \sqrt{3} \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 19.2.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.8.1

$- \sqrt{3}$ e $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3}}{4} + \frac{- \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Passaggio 19.2.8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 4}{4}$

Passaggio 19.2.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.9.1

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 2 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 19.2.9.2

Sottrai $4 \sqrt{3}$ da $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{1 - \sqrt{3}}{2}) = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 19.2.10

La risposta finale è $\frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$ .

$y = \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x$ .

$(- 1, 0)$ è un massimo locale

$(\frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{9 + 6 \sqrt{3}}{4})$ è un massimo locale

$(\frac{1 - \sqrt{3}}{2}, \frac{9 - 6 \sqrt{3}}{4})$ è un minimo locale

Passaggio 21