Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{\frac{7}{2}} + 4 x^{\frac{5}{2}} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{\frac{7}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{\frac{7}{2}}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{\frac{7}{2}}] + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{7}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{7 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.6.2

Sottrai $2$ da $7$ .

$6 (\frac{7}{2} x^{\frac{5}{2}}) + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.7

$\frac{7}{2}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$6 \frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.8

$6$ e $\frac{7 x^{\frac{5}{2}}}{2}$ .

$\frac{6 (7 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.9

Moltiplica $7$ per $6$ .

$\frac{42 x^{\frac{5}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.10

Scomponi $2$ da $42 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (21 x^{\frac{5}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{21 x^{\frac{5}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.11.4

Dividi $21 x^{\frac{5}{2}}$ per $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 4 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.8

$4$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{4 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.9

Moltiplica $5$ per $4$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{20 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.10

Scomponi $2$ da $20 x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.11.2

Elimina il fattore comune.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{2 (10 x^{\frac{3}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.11.3

Riscrivi l'espressione.

$21 x^{\frac{5}{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.3.11.4

Dividi $10 x^{\frac{3}{2}}$ per $1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f' (x) = 21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $21 x^{\frac{5}{2}} + 10 x^{\frac{3}{2}} + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [21 x^{\frac{5}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $21$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $21 x^{\frac{5}{2}}$ rispetto a $x$ è $21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$21 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}] + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{5}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.6.2

Sottrai $2$ da $5$ .

$21 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}}) + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.7

$\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$21 \frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.8

$21$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$\frac{21 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.2.9

Moltiplica $5$ per $21$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [10 x^{\frac{3}{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $10 x^{\frac{3}{2}}$ rispetto a $x$ è $10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.4

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.6.2

Sottrai $2$ da $3$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.7

$\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 10 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.8

$10$ e $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{10 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.9

Moltiplica $3$ per $10$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{30 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.10

Scomponi $2$ da $30 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.11

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.11.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.11.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{2 (15 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.11.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{15 x^{\frac{1}{2}}}{1} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.3.11.4

Dividi $15 x^{\frac{1}{2}}$ per $1$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}} + 0$

Passaggio 2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Somma $\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$ e $0$ .

$\frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2} + 15 x^{\frac{1}{2}}$

Passaggio 2.5.2

Riordina i termini.

$f'' (x) = 15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Passaggio 3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$15 x^{\frac{1}{2}} + \frac{105 x^{\frac{3}{2}}}{2}$