Calcolo Esempi

$f (x) = - 4 \sin (x)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \sin (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$- 4 \cos (x)$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 \cos (x)$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Passaggio 2.2

La derivata di $\cos (x)$ rispetto a $x$ è $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 4 (- \sin (x))$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$f'' (x) = 4 \sin (x)$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 4 \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos (x) = 0$ .

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos (x)}{- 4} = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{0}{- 4}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $- 4$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 8

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 8.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 8.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9

La soluzione dell'equazione $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Passaggio 10

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 11.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$4 \cdot 1$

Passaggio 11.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4$

Passaggio 12

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{π}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 13

Trova il valore di y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 13.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{π}{2}) = - 4 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 13.2

Semplifica il risultato.

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Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 4 \cdot 1$

Passaggio 13.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 4$

Passaggio 13.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 14

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda.

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Passaggio 15.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 15.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 15.3

Moltiplica $4 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 \cdot - 1$

Passaggio 15.3.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4$

Passaggio 16

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{2}$ è un massimo locale

Passaggio 17

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 4 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 17.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = - 4 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 17.2.2

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 4 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 17.2.3

Moltiplica $- 4 (- 1 \cdot 1)$ .

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Passaggio 17.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = - 4 \cdot - 1$

Passaggio 17.2.3.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 4$

Passaggio 17.2.4

La risposta finale è $4$ .

$y = 4$

Passaggio 18

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 4 \sin (x)$ .

$(\frac{π}{2}, - 4)$ è un minimo locale

$(\frac{3 π}{2}, 4)$ è un massimo locale

Passaggio 19