Calcolo Esempi

$\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3}{10} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $\frac{3}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{10} x^{5}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{3}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$\frac{3}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.3

$5$ e $\frac{3}{10}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.4

Moltiplica $5$ per $3$ .

$\frac{15}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.5

$\frac{15}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{15 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6

Elimina il fattore comune di $15$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Scomponi $5$ da $15 x^{4}$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (3 x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{3 x^{4}}{2} + 5 (4 x^{3})$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\frac{3 x^{4}}{2} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{4}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x^{4}}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{3}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.3

$4$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{4 \cdot 3}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{12}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.5

$\frac{12}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{12 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.6

Elimina il fattore comune di $12$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Scomponi $2$ da $12 x^{3}$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (6 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{6 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.4

Dividi $6 x^{3}$ per $1$ .

$6 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$6 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$6 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = 6 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$6 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi $6 x^{2}$ da $6 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $6 x^{2}$ da $6 x^{3}$ .

$6 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi $6 x^{2}$ da $60 x^{2}$ .

$6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10) = 0$

Passaggio 3.2.3

Scomponi $6 x^{2}$ da $6 x^{2} (x) + 6 x^{2} (10)$ .

$6 x^{2} (x + 10) = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 10 = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 3.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x + 10$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta $x + 10$ uguale a $0$ .

$x + 10 = 0$

Passaggio 3.5.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 10$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x^{2} (x + 10) = 0$ vera.

$x = 0, - 10$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = \frac{3}{10} \cdot 0 + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $\frac{3}{10}$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $5$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 10$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10$ nell'espressione.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot {(- 10)}^{5} + 5 {(- 10)}^{4}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 10$ alla potenza di $5$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot - 100000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Scomponi $10$ da $- 100000$ .

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 (- 10000)) + 5 {(- 10)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (- 10) = \frac{3}{10} \cdot (10 \cdot - 10000) + 5 {(- 10)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (- 10) = 3 \cdot - 10000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.3

Moltiplica $3$ per $- 10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 {(- 10)}^{4}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Eleva $- 10$ alla potenza di $4$ .

$f (- 10) = - 30000 + 5 \cdot 10000$

Passaggio 4.3.2.1.5

Moltiplica $5$ per $10000$ .

$f (- 10) = - 30000 + 50000$

Passaggio 4.3.2.2

Somma $- 30000$ e $50000$ .

$f (- 10) = 20000$

Passaggio 4.3.2.3

La risposta finale è $20000$ .

$20000$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 10$ in $f (x) = \frac{3}{10} x^{5} + 5 x^{4}$ è $(- 10, 20000)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 10, 20000)$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 10, 20000)$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 10) \cup (- 10, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 10)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 10.1$ nell'espressione.

$f'' (- 10.1) = 6 {(- 10.1)}^{3} + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 10.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 10.1) = 6 \cdot - 1030.301 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1030.301$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 {(- 10.1)}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 10.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 60 \cdot 102.01$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $60$ per $102.01$ .

$f'' (- 10.1) = - 6181.806 + 6120.6$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 6181.806$ e $6120.6$ .

$f'' (- 10.1) = - 61.206$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 61.206$ .

$- 61.206$

Passaggio 6.3

Per $- 10.1$ , la derivata seconda è $- 61.206$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 10)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 10)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 10, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 5$ nell'espressione.

$f'' (- 5) = 6 {(- 5)}^{3} + 60 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 5$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 5) = 6 \cdot - 125 + 60 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $6$ per $- 125$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 {(- 5)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 5$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 60 \cdot 25$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $60$ per $25$ .

$f'' (- 5) = - 750 + 1500$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 750$ e $1500$ .

$f'' (- 5) = 750$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $750$ .

$750$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 5$ , la derivata seconda è $750$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 10, 0)$ .

Crescente su $(- 10, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = 6 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = 6 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 60 \cdot 0.01$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $60$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = 0.006 + 0.6$

Passaggio 8.2.2

Somma $0.006$ e $0.6$ .

$f'' (0.1) = 0.606$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $0.606$ .

$0.606$

Passaggio 8.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.606$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 10, 20000)$ .

$(- 10, 20000)$

Passaggio 10