Calcolo Esempi

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{2 x + 1})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2

Differenzia.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{(2 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2 x + 1$ per $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x \frac{d}{d x} [2 x + 1]}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.6

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + \frac{d}{d x} [1])}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.7

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x (2 + 0)}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 3.2.8.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{2 x + 1 - x \cdot 2}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 x + 1 - 2 x}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8.3

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{0 + 1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 3.2.8.4

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 x + 1)}^{2}}$