Calcolo Esempi

$y = - 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [3 \sin (x - \frac{π}{4})]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \sin (x - \frac{π}{4})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{4})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\sin (x - \frac{π}{4})]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - \frac{π}{4}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Passaggio 1.2.2.2

La derivata di $\sin (u)$ rispetto a $u$ è $\cos (u)$ .

$0 + 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Passaggio 1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - \frac{π}{4}$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

Passaggio 1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]))$

Passaggio 1.2.5

Poiché $- \frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) (1 + 0))$

Passaggio 1.2.6

Somma $1$ e $0$ .

$0 + 3 (\cos (x - \frac{π}{4}) \cdot 1)$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $\cos (x - \frac{π}{4})$ per $1$ .

$0 + 3 \cos (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 1.3

Somma $0$ e $3 \cos (x - \frac{π}{4})$ .

$3 \cos (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \cos (x - \frac{π}{4})$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{4})]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (\cos (x - \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = x - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 3 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.2.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - \frac{π}{4}$ .

$f'' (x) = 3 (- \sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$f'' (x) = - 3 (\sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} (x - \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} (- \frac{π}{4}))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- \frac{π}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{π}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + 0)$

Passaggio 2.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4}) \cdot 1$

Passaggio 2.3.5.2

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$f'' (x) = - 3 \sin (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 4

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 \cos (x - \frac{π}{4}) = 0$ .

$\frac{3 \cos (x - \frac{π}{4})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \cos (x - \frac{π}{4})}{3} = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $\cos (x - \frac{π}{4})$ per $1$ .

$\cos (x - \frac{π}{4}) = \frac{0}{3}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Dividi $0$ per $3$ .

$\cos (x - \frac{π}{4}) = 0$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x - \frac{π}{4} = \arccos (0)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{π}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{4}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 7.5.2

Somma $2 π$ e $π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 8

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 9.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 9.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 9.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 9.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = \frac{3 π}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.2

Per scrivere $\frac{3 π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.3.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π \cdot 2}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 9.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{3 π \cdot 2 + π}{4}$

Passaggio 9.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.5.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{6 π + π}{4}$

Passaggio 9.2.5.2

Somma $6 π$ e $π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 10

La soluzione dell'equazione $x - \frac{π}{4} = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{4}, \frac{7 π}{4}$

Passaggio 11

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{3 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

Passaggio 12.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Passaggio 12.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Passaggio 12.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 12.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 12.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 12.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 3 \cdot 1$

Passaggio 12.5

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 3$

Passaggio 13

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{3 π}{4}$ è un massimo locale

Passaggio 14

Trova il valore di y quando $x = \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{3 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin ((\frac{3 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Passaggio 14.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{3 π - π}{4})$

Passaggio 14.2.1.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{4})$

Passaggio 14.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (π)}{4})$

Passaggio 14.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 14.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 π}{2 \cdot 2})$

Passaggio 14.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{π}{2})$

Passaggio 14.2.1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3 \cdot 1$

Passaggio 14.2.1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = - 1 + 3$

Passaggio 14.2.2

Somma $- 1$ e $3$ .

$f (\frac{3 π}{4}) = 2$

Passaggio 14.2.3

La risposta finale è $2$ .

$y = 2$

Passaggio 15

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{7 π}{4}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 3 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

Passaggio 16.2

Sottrai $π$ da $7 π$ .

$- 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 16.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 16.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 16.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 16.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 16.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$- 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 16.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$- 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 16.6

Moltiplica $- 3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- 3 \cdot - 1$

Passaggio 16.6.2

Moltiplica $- 3$ per $- 1$ .

$3$

Passaggio 17

$x = \frac{7 π}{4}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{7 π}{4}$ è un minimo locale

Passaggio 18

Trova il valore di y quando $x = \frac{7 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{7 π}{4}$ nell'espressione.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin ((\frac{7 π}{4}) - \frac{π}{4})$

Passaggio 18.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{7 π - π}{4})$

Passaggio 18.2.1.2

Sottrai $π$ da $7 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{6 π}{4})$

Passaggio 18.2.1.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.3.1

Scomponi $2$ da $6 π$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{4})$

Passaggio 18.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 (2)})$

Passaggio 18.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{2 (3 π)}{2 \cdot 2})$

Passaggio 18.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \sin (\frac{3 π}{2})$

Passaggio 18.2.1.4

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché il seno è negativo nel quarto quadrante.

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Passaggio 18.2.1.5

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{2})$ è $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Passaggio 18.2.1.6

Moltiplica $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 18.2.1.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Passaggio 18.2.1.6.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 1 - 3$

Passaggio 18.2.2

Sottrai $3$ da $- 1$ .

$f (\frac{7 π}{4}) = - 4$

Passaggio 18.2.3

La risposta finale è $- 4$ .

$y = - 4$

Passaggio 19

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - 1 + 3 \sin (x - \frac{π}{4})$ .

$(\frac{3 π}{4}, 2)$ è un massimo locale

$(\frac{7 π}{4}, - 4)$ è un minimo locale

Passaggio 20