Calcolo Esempi

$(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}} + \frac{2}{e}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) \sqrt{e^{x}}]$ .

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Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{e^{x}}$ come $e^{\frac{x}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [(x + y^{2}) e^{\frac{x}{2}}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x + y^{2}$ e $g (x) = e^{\frac{x}{2}}$ .

$(x + y^{2}) \frac{d}{d x} [e^{\frac{x}{2}}] + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{x}{2}$ .

$(x + y^{2}) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x + y^{2}) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{x}{2}$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.4

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} \frac{d}{d x} [x + y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + y^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y^{2}]) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.8

Poiché $y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} (\frac{1}{2} \cdot 1)) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.9

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$(x + y^{2}) (e^{\frac{x}{2}} \frac{1}{2}) + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.10

$e^{\frac{x}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.11

Somma $1$ e $0$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 2.12

Moltiplica $e^{\frac{x}{2}}$ per $1$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{2}{e}]$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{e}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{2}{e}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x + y^{2}) \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.2.1

$x$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + y^{2} \frac{e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Passaggio 4.2.2

$y^{2}$ e $\frac{e^{\frac{x}{2}}}{2}$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}} + 0$

Passaggio 4.2.3

Somma $\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$ e $0$ .

$\frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{y^{2} e^{\frac{x}{2}}}{2} + \frac{x e^{\frac{x}{2}}}{2} + e^{\frac{x}{2}}$