Calcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{x + 2} - 1$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sqrt{x + 2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + 2$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.3

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.6

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.7

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.1.2.9.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.9.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.11

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.12

$\frac{1}{2}$ e ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.13

Moltiplica $\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ per $1$ .

$\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.2.14

Sposta ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} + 0$

Passaggio 1.1.3.2

Somma $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Passaggio 2.2

Poni il numeratore uguale a zero.

$1 = 0$

Passaggio 2.3

Poiché $1 \neq 0$ , non ci sono soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

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Passaggio 3.1

Converti le espressioni con gli esponenti frazionari in radicali.

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Passaggio 3.1.1

Applica la regola $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ per riscrivere l'elevazione a potenza come un radicale.

$\frac{1}{2 \sqrt{{(x + 2)}^{1}}}$

Passaggio 3.1.2

Qualsiasi cosa elevata a $1$ è la base stessa.

$\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$

Passaggio 3.2

Imposta il denominatore in $\frac{1}{2 \sqrt{x + 2}}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 \sqrt{x + 2} = 0$

Passaggio 3.3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{x + 2})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x + 2}$ come ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Semplifica ${(2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Passaggio 3.3.2.2.1.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(x + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x + 2)}^{1} = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.4

Semplifica.

$4 (x + 2) = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 x + 4 \cdot 2 = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.2.1.6

Moltiplica $4$ per $2$ .

$4 x + 8 = 0^{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 x + 8 = 0$

Passaggio 3.3.3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Sottrai $8$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = - 8$

Passaggio 3.3.3.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 8$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = - 8$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 3.3.3.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 3.3.3.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 8}{4}$

Passaggio 3.3.3.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.3.1

Dividi $- 8$ per $4$ .

$x = - 2$

Passaggio 3.4

Imposta il radicando in $\sqrt{x + 2}$ in modo che minore di $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x + 2 < 0$

Passaggio 3.5

Sottrai $2$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$x < - 2$

Passaggio 3.6

L'equazione è indefinita dove il denominatore è uguale a $0$ , l'argomento di una radice quadrata è minore di $0$ o l'argomento di un logaritmo è minore di o uguale a $0$ .

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

$x \leq - 2$

$(- \infty, - 2]$

Passaggio 4

Risolvi $\sqrt{x + 2} - 1$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = - 2$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $- 2$ a $x$ .

$\sqrt{(- 2) + 2} - 1$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Somma $- 2$ e $2$ .

$\sqrt{0} - 1$

Passaggio 4.1.2.1.2

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} - 1$

Passaggio 4.1.2.1.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$0 - 1$

Passaggio 4.1.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- 1$

Passaggio 4.2

Elenca tutti i punti.

$(- 2, - 1)$

Passaggio 5