Calcolo Esempi

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + x}$

Passaggio 1

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 1.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + 6 x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 6 x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.3

Sposta il termine $6$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.4

Calcola il limite di $5$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.5

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.5.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 6 lim_{x \to - 1} x + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.5.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} + 6 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.6

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1 + 6 \cdot - 1 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.6.1.2

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$\frac{1 - 6 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.6.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$\frac{- 5 + 5}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.2.6.3

Somma $- 5$ e $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + x}$

Passaggio 1.1.3

Calcola il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.1.3.2

Sposta l'esponente $2$ da $x^{2}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.1.3.3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + lim_{x \to - 1} x}$

Passaggio 1.1.3.3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} - 1}$

Passaggio 1.1.3.4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.4.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Passaggio 1.1.3.4.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.4.3

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.3.5

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{0}{0}$

Passaggio 1.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} + 6 x + 5}{x^{2} + x} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 1.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 6 x + 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 6 x + 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.4.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.4.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 + \frac{d}{d x} [5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.5

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.6

Somma $2 x + 6$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x]}$

Passaggio 1.3.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{2 x + \frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 1.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 6}{2 x + 1}$

Passaggio 2

Calcola il limite.

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Passaggio 2.1

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.2

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.3

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.4

Calcola il limite di $6$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + 1}$

Passaggio 2.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 2.6

Sposta il termine $2$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Passaggio 2.7

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $- 1$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 3

Calcola il limite inserendo $- 1$ per tutte le occorrenze di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 6}{2 lim_{x \to - 1} x + 1}$

Passaggio 3.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $- 1$ per $x$ .

$\frac{2 \cdot - 1 + 6}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{- 2 + 6}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4.1.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$\frac{4}{2 \cdot - 1 + 1}$

Passaggio 4.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.2.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{4}{- 2 + 1}$

Passaggio 4.2.2

Somma $- 2$ e $1$ .

$\frac{4}{- 1}$

Passaggio 4.3

Dividi $4$ per $- 1$ .

$- 4$