Calcolo Esempi

$f (x) = \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Passaggio 1

Data $x = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (x) = \ln (f (x))$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4}))$

Passaggio 2

Espandi il lato di destra.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ come $\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x} x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\ln (e^{x} x^{3})$ come $\ln (e^{x}) + \ln (x^{3})$ .

$\ln (f (x)) = \ln (\ln (e^{x}) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Passaggio 2.4

Espandi $\ln (x^{3})$ spostando $3$ fuori dal logaritmo.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + \ln ({(x + 1)}^{4}))$

Passaggio 2.5

Espandi $\ln ({(x + 1)}^{4})$ spostando $4$ fuori dal logaritmo.

$\ln (f (x)) = \ln (x \ln (e) + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Passaggio 2.6

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x \cdot 1 + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Passaggio 2.7

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\ln (f (x)) = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (f (x))$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{x'}{x} = \ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia $\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d x} [\ln (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Passaggio 3.2.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)]$

Passaggio 3.2.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Passaggio 3.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Passaggio 3.2.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Passaggio 3.2.4

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + 3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Passaggio 3.2.5

Differenzia usando la regola multipla costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

$3$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [4 \ln (x + 1)])$

Passaggio 3.2.5.2

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 \ln (x + 1)$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)])$

Passaggio 3.2.6

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 3.2.6.2

La derivata di $\ln (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 3.2.6.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $x + 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + 4 (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]))$

Passaggio 3.2.7

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.1

$\frac{1}{x + 1}$ e $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1])$

Passaggio 3.2.7.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.2.7.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

Passaggio 3.2.7.4

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} (1 + 0))$

Passaggio 3.2.7.5

Riduci in una frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.5.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1} \cdot 1)$

Passaggio 3.2.7.5.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.5.2.1

Moltiplica $\frac{4}{x + 1}$ per $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (1 + \frac{3}{x} + \frac{4}{x + 1})$

Passaggio 3.2.7.5.2.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{4}{x + 1})$

Passaggio 3.2.7.5.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 1 + 4}{x + 1})$

Passaggio 3.2.7.5.4

Somma $1$ e $4$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Passaggio 3.2.8

Per scrivere $\frac{3}{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1})$

Passaggio 3.2.9

Per scrivere $\frac{x + 5}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3}{x} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Passaggio 3.2.10

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $x (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.10.1

Moltiplica $\frac{3}{x}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{x + 5}{x + 1} \cdot \frac{x}{x})$

Passaggio 3.2.10.2

Moltiplica $\frac{x + 5}{x + 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{(x + 1) x})$

Passaggio 3.2.10.3

Riordina i fattori di $(x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} (\frac{3 (x + 1)}{x (x + 1)} + \frac{(x + 5) x}{x (x + 1)})$

Passaggio 3.2.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x'}{x} = \frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)} \cdot \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$

Passaggio 3.2.12

Moltiplica $\frac{1}{x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)}$ per $\frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{x (x + 1)}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 (x + 1) + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) (x (x + 1))}$

Passaggio 3.2.13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + (x + 5) x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)) x (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 \cdot 1 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.4.1.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x \cdot x + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.4.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{3 x + 3 + x^{2} + 5 x}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.4.2

Somma $3 x$ e $5 x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.5

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.5.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.5.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1} x^{1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{1 + 1} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.5.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{8 x + 3 + x^{2}}{(x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x) (x + 1)}$

Passaggio 3.2.13.6

Riordina i termini.

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Passaggio 3.2.13.7

Scomponi $x$ da $x^{2} + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.13.7.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + 3 \ln (x) x + 4 \ln (x + 1) x)}$

Passaggio 3.2.13.7.2

Scomponi $x$ da $3 \ln (x) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + 4 \ln (x + 1) x)}$

Passaggio 3.2.13.7.3

Scomponi $x$ da $4 \ln (x + 1) x$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x \cdot x + x (3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Passaggio 3.2.13.7.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x + x (3 \ln (x))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1)))}$

Passaggio 3.2.13.7.5

Scomponi $x$ da $x (x + 3 \ln (x)) + x (4 \ln (x + 1))$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) (x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1)))}$

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Passaggio 3.2.13.8

Riordina i fattori in $\frac{x^{2} + 8 x + 3}{(x + 1) x (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$ .

$\frac{x'}{x} = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))}$

Passaggio 4

Isola $x'$ e sostituisci la funzione originale a $x$ nel lato destro.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + 3 \ln (x) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Semplifica $3 \ln (x)$ spostando $3$ all'interno del logaritmo.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + 4 \ln (x + 1))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Passaggio 5.1.1.2

Semplifica $4 \ln (x + 1)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3}) + \ln ({(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Passaggio 5.1.2

Usa la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$x' = \frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))} \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$

Passaggio 5.2

$\frac{x^{2} + 8 x + 3}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ e $\ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})$ .

$x' = \frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$

Passaggio 5.3

Riordina i fattori in $\frac{(x^{2} + 8 x + 3) \ln (e^{x} x^{3} {(x + 1)}^{4})}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$ .

$x' = \frac{\ln (x^{3} e^{x} {(x + 1)}^{4}) (x^{2} + 8 x + 3)}{x (x + 1) (x + \ln (x^{3} {(x + 1)}^{4}))}$