Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.4

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.2.6.2.4

Dividi $- 2 x^{3}$ per $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

Passaggio 1.5.2

Somma $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ e $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} x^{3} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{2}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $2$ per $24$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x + \frac{d}{d x} (- 64 x)$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 64 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Poiché $- 64$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 64 x$ rispetto a $x$ è $- 64 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$f'' (x) = - 6 x^{2} + 48 x - 64$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.4

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.5

$\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.2.6.2.4

Dividi $- 2 x^{3}$ per $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} + 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 x^{3} + 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $3$ per $8$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 32 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 32 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Poiché $- 32$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 32 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 32 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 32 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.4.3

Moltiplica $2$ per $- 32$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + \frac{d}{d x} [- 5]$

Passaggio 4.1.5

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.5.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x + 0$

Passaggio 4.1.5.2

Somma $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ e $0$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3} + 24 x^{2} - 64 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} + 24 x^{2} - 64 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $- 2 x$ da $24 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 64 x = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $- 2 x$ da $- 64 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

Passaggio 5.2.1.4

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{2}) - 2 x (- 12 x)$ .

$- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x \cdot 32 = 0$

Passaggio 5.2.1.5

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{2} - 12 x) - 2 x (32)$ .

$- 2 x (x^{2} - 12 x + 32) = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Scomponi $x^{2} - 12 x + 32$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $32$ e la cui somma è $- 12$ .

$- 8, - 4$

Passaggio 5.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$- 2 x ((x - 8) (x - 4)) = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 8 = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 5.5.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 5.6

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 5.6.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 5.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 x (x - 8) (x - 4) = 0$ vera.

$x = 0, 8, 4$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, 8, 4$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 {(0)}^{2} + 48 (0) - 64$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- 6 \cdot 0 + 48 (0) - 64$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $- 6$ per $0$ .

$0 + 48 (0) - 64$

Passaggio 9.1.3

Moltiplica $48$ per $0$ .

$0 + 0 - 64$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 - 64$

Passaggio 9.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$- 64$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{2} \cdot 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{2}) + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$f (0) = 0 + 8 {(0)}^{3} - 32 {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 8 \cdot 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $8$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 32 {(0)}^{2} - 5$

Passaggio 11.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 32 \cdot 0 - 5$

Passaggio 11.2.1.6

Moltiplica $- 32$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 - 5$

Passaggio 11.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 5$

Passaggio 11.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 5$

Passaggio 11.2.2.3

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (0) = - 5$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = 8$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 {(8)}^{2} + 48 (8) - 64$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$- 6 \cdot 64 + 48 (8) - 64$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $- 6$ per $64$ .

$- 384 + 48 (8) - 64$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $48$ per $8$ .

$- 384 + 384 - 64$

Passaggio 13.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Somma $- 384$ e $384$ .

$0 - 64$

Passaggio 13.2.2

Sottrai $64$ da $0$ .

$- 64$

Passaggio 14

$x = 8$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 8$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $8$ nell'espressione.

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{4} + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$f (8) = - \frac{1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot 4096 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $4096$ .

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (2048)) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (8) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2048) + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (8) = - 1 \cdot 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2048$ .

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.4

Moltiplica $8$ per ${(8)}^{3}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Moltiplica $8$ per ${(8)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $1$ .

$f (8) = - 2048 + 8 {(8)}^{3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (8) = - 2048 + 8^{1 + 3} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.4.2

Somma $1$ e $3$ .

$f (8) = - 2048 + 8^{4} - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.5

Eleva $8$ alla potenza di $4$ .

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 {(8)}^{2} - 5$

Passaggio 15.2.1.6

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$f (8) = - 2048 + 4096 - 32 \cdot 64 - 5$

Passaggio 15.2.1.7

Moltiplica $- 32$ per $64$ .

$f (8) = - 2048 + 4096 - 2048 - 5$

Passaggio 15.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.2.1

Somma $- 2048$ e $4096$ .

$f (8) = 2048 - 2048 - 5$

Passaggio 15.2.2.2

Sottrai $2048$ da $2048$ .

$f (8) = 0 - 5$

Passaggio 15.2.2.3

Sottrai $5$ da $0$ .

$f (8) = - 5$

Passaggio 15.2.3

La risposta finale è $- 5$ .

$y = - 5$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 4$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$- 6 {(4)}^{2} + 48 (4) - 64$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$- 6 \cdot 16 + 48 (4) - 64$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $- 6$ per $16$ .

$- 96 + 48 (4) - 64$

Passaggio 17.1.3

Moltiplica $48$ per $4$ .

$- 96 + 192 - 64$

Passaggio 17.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Somma $- 96$ e $192$ .

$96 - 64$

Passaggio 17.2.2

Sottrai $64$ da $96$ .

$32$

Passaggio 18

$x = 4$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 4$ è un minimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $4$ nell'espressione.

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot {(4)}^{4} + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$f (4) = - \frac{1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{2}$ nel numeratore.

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot 256 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $256$ .

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 (128)) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (4) = \frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 128) + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (4) = - 1 \cdot 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $128$ .

$f (4) = - 128 + 8 {(4)}^{3} - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.4

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$f (4) = - 128 + 8 \cdot 64 - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.5

Moltiplica $8$ per $64$ .

$f (4) = - 128 + 512 - 32 {(4)}^{2} - 5$

Passaggio 19.2.1.6

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$f (4) = - 128 + 512 - 32 \cdot 16 - 5$

Passaggio 19.2.1.7

Moltiplica $- 32$ per $16$ .

$f (4) = - 128 + 512 - 512 - 5$

Passaggio 19.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.2.1

Somma $- 128$ e $512$ .

$f (4) = 384 - 512 - 5$

Passaggio 19.2.2.2

Sottrai $512$ da $384$ .

$f (4) = - 128 - 5$

Passaggio 19.2.2.3

Sottrai $5$ da $- 128$ .

$f (4) = - 133$

Passaggio 19.2.3

La risposta finale è $- 133$ .

$y = - 133$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = - \frac{1}{2} x^{4} + 8 x^{3} - 32 x^{2} - 5$ .

$(0, - 5)$ è un massimo locale

$(8, - 5)$ è un massimo locale

$(4, - 133)$ è un minimo locale

Passaggio 21