Calcolo Esempi

${(x + x y + y)}^{3}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + x y + y$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x + x y + y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + x y + y$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} \frac{d}{d x} [x + x y + y]$

Passaggio 2

Differenzia.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + x y + y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.3

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $x y$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + \frac{d}{d x} [y])$

Passaggio 2.6

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y$ rispetto a $x$ è $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y + 0)$

Passaggio 2.7

Somma $1 + y$ e $0$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} (1 + y)$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$3 {(x + x y + y)}^{2} \cdot 1 + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Passaggio 3.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 {(x + x y + y)}^{2} y$

Passaggio 3.3

Riordina i termini.

$3 {(x + x y + y)}^{2} + 3 y {(x + x y + y)}^{2}$