Calcolo Esempi

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x \ln (x^{2})} d x$

Passaggio 1

Riscrivi $\frac{1}{x \ln (x^{2})}$ come $\frac{1}{x (2 \ln (x))}$ .

$\int_{4}^{8} \frac{1}{x (2 \ln (x))} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{2} \int_{4}^{8} \frac{1}{x (\ln (x))} d x$

Passaggio 3

Sia $u = \ln (x)$ . Allora $d u = \frac{1}{x} d x$ , quindi $x d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = \ln (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Passaggio 3.1.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Passaggio 3.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{lower} = \ln (4)$

Passaggio 3.3

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \ln (x)$ .

$u_{upper} = \ln (8)$

Passaggio 3.4

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = \ln (4)$

$u_{upper} = \ln (8)$

Passaggio 3.5

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} \int_{\ln (4)}^{\ln (8)} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| u |)]_{\ln (4)}^{\ln (8)}$

Passaggio 5

Calcola $\ln (| u |)$ per $\ln (8)$ e per $\ln (4)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| \ln (8) |) - \ln (| \ln (4) |))$

Passaggio 6

Semplifica.

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Passaggio 6.1

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$

Passaggio 6.2

$\frac{1}{2}$ e $\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})$ .

$\frac{\ln (\frac{| \ln (8) |}{| \ln (4) |})}{2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

$\ln (8)$ corrisponde approssimativamente a $2.07944154$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{| \ln (4) |})}{2}$

Passaggio 7.2

$\ln (4)$ corrisponde approssimativamente a $1.38629436$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{\ln (\frac{\ln (8)}{\ln (4)})}{2}$

Passaggio 7.3

Riscrivi $\ln (8)$ come $\ln (2^{3})$ .

$\frac{\ln (\frac{\ln (2^{3})}{\ln (4)})}{2}$

Passaggio 7.4

Espandi $\ln (2^{3})$ spostando $3$ fuori dal logaritmo.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (4)})}{2}$

Passaggio 7.5

Riscrivi $\ln (4)$ come $\ln (2^{2})$ .

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{\ln (2^{2})})}{2}$

Passaggio 7.6

Espandi $\ln (2^{2})$ spostando $2$ fuori dal logaritmo.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Passaggio 7.7

Elimina il fattore comune di $\ln (2)$ .

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Passaggio 7.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\ln (\frac{3 \ln (2)}{2 \ln (2)})}{2}$

Passaggio 7.7.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\ln (\frac{3}{2})}{2}$

Forma decimale:

$0.20273255 \dots$