Calcolo Esempi

${(3 - 5 x)}^{5}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = 3 - 5 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 - 5 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - 5 x$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [3 - 5 x]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 1.2.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 1.2.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 1.2.4

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(3 - 5 x)}^{4} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 1.2.5

Moltiplica $- 5$ per $5$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 25 {(3 - 5 x)}^{4} \cdot 1$

Passaggio 1.2.7

Moltiplica $- 25$ per $1$ .

$f' (x) = - 25 {(3 - 5 x)}^{4}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $- 25$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 25 {(3 - 5 x)}^{4}$ rispetto a $x$ è $- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$ .

$- 25 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{4}]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Passaggio 2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 - 5 x$ .

$- 25 (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 25 (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - 5 x$ .

$- 25 (4 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 2.3

Differenzia.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$- 100 ({(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 2.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 2.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 100 {(3 - 5 x)}^{3} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 2.3.6

Moltiplica $- 5$ per $- 100$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$500 {(3 - 5 x)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 2.3.8

Moltiplica $500$ per $1$ .

$f'' (x) = 500 {(3 - 5 x)}^{3}$

Passaggio 3

Trova la derivata terza.

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Passaggio 3.1

Poiché $500$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $500 {(3 - 5 x)}^{3}$ rispetto a $x$ è $500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$ .

$500 \frac{d}{d x} [{(3 - 5 x)}^{3}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 3 - 5 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 - 5 x$ .

$500 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$500 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 - 5 x$ .

$500 (3 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Moltiplica $3$ per $500$ .

$1500 ({(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [3 - 5 x])$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x])$

Passaggio 3.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1500 {(3 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $- 5$ per $1500$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 7500 {(3 - 5 x)}^{2} \cdot 1$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $- 7500$ per $1$ .

$f''' (x) = - 7500 {(3 - 5 x)}^{2}$